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Quadratische Approximation bestimmen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Approximation, Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis

Klausi123 aktiv_icon

12:24 Uhr, 29.05.2014

Hallo,

wie ich die lineare und quadratische Approximation einer expliziten Funktion bestimme ist mir klar. Für die quadratische Approximation gilt:

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)+1/2*f″(x0)(x−x0)^2

Nur wenn ich die Approximation einer implizierten Funktion bestimmen soll weiß ich nicht so recht wie ich anfangen muss.

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die quadratische Approximation für

y = y (x)

x = 0,

wenn

x

implizit als Funktion von

x

in der Nähe von

(x, y) = (0,1)

durch xy^3

+ 1 = y

definiert ist.

Hier ist meine zu approximierende Funktion also nicht explizit als

f (x) = . .

. gegeben, sondern implizit als Gleichung. Wie ich eine implizite Funktion ableite ist auch klar.

Zurück zur Aufgabe:

Zunächst schaue ich mir die Formel f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)+1/2*f″(x0)(x−x0)^2 an

Bei der expliziten Funktion würde ich mein

x

in die Funktion einsetzen und dann mein

f (x 0)

erhalten. Dann würde ich die Funktion ableiten und mein

x

in die abgeleitete Funktion einsetzen, womit ich dann mein

f' (x 0)

erhalte. Nur kann ich bei der implizierten Funktion so wie sie ist ja noch keine Werte einsetzen.

Laut Lösung muss die implizite Funktion zunächst abgeleitet werden, was y^3+3xy^2y'

= y'

heißen würde.

Kann mir jemand verraten wie ich hier vorgehen muss? Kann ich erst einmal die erste und zweite Ableitung der Funktion bilden und mich danach um das Einsetzen kümmern? Eine Schrittweise Anleitung würde mir helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Mathe45

13:31 Uhr, 29.05.2014

Mögliche Vorgangsweise
Andere Schreibweise der Funktion und der Ableitungen.

x \cdot {[f (x)]}^{3} + 1 = f (x)

x = 0 \Rightarrow 0 \cdot {[f (0)]}^{3} + 1 = f (0) \Rightarrow f (0) = 1

1. Ableitung:

1 \cdot {[f (x)]}^{3} + x \cdot 3 \cdot {[f (x)]}^{2} \cdot f' (x) = f' (x)

x = 0 \Rightarrow 1 \cdot {[f (0)]}^{3} + 0 \cdot 3 \cdot {[f (0)]}^{2} \cdot f' (0) = f' (0) \Rightarrow 1 \cdot 1^{3} + 0 \cdot [...] = f' (0) \Rightarrow f' (0) = 1

2. Ableitung

3 \cdot {[f (x)]}^{2} \cdot f' (x) + 1 \cdot 3 \cdot {[f (x)]}^{2} \cdot f' (x) + x \cdot [6 \cdot f (x) \cdot f' (x) \cdot f' (x) + 3 \cdot {[f (x)]}^{2} \cdot f'' (x)] = f'' (x)

x = 0 \Rightarrow 3 \cdot {[f (0)]}^{2} \cdot f' (0) + 1 \cdot 3 \cdot {[f (0)]}^{2} \cdot f' (0) + 0 \cdot [6 \cdot f (0) \cdot f' (0) \cdot f' (0) + 3 \cdot {[f (0)]}^{2} \cdot f'' (0)] = f'' (0)

\Rightarrow 3 \cdot 1^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 1^{2} \cdot 1 + 0 \cdot [...] = f'' (0) \Rightarrow f'' (0) = 6

Klausi123 aktiv_icon

13:49 Uhr, 29.05.2014

Danke für deine Antwort. Ich schreibe die Funktion auch lieber in dieser Form und tausche zunächst

y

durch

f (x)

aus. Es ist aber egal ob ich zunächst beide Ableitungen bilde und dann einsetze, oder?
Wenn ich es also so umschreibe, dann interessiert mich der

y

Wert überhaupt nicht mehr? Du hast ja jetzt quasi immer

x = 0

eingesetzt und nie das

y = 1

oder sehe ich das falsch? Mit

f (0)

meinst du

f (x 0)

nehme ich an.

Mathe45

13:53 Uhr, 29.05.2014

Siehe Aufgabentext " um

x = 0

d . h

x_{0} = 0

also

f (0) + \frac{f' (0) \cdot x}{1!} + \frac{f'' (0) \cdot x^{2}}{2!}

Klausi123 aktiv_icon

14:07 Uhr, 29.05.2014

Okay also habe ich

f (x 0) = 1 f' (x 0) = 1

und

f'' (x 0) = 6

Wenn ich das nun in die Formel für die quadr. Approximation einsetze bekomme ich

1 + 1 (x - 0) + \frac{1}{2} \cdot 6 {(x - 0)}^{2}

Daraus erhalte ich

2 x + 3 x^{2}

. Rauskommen sollte eigentlich

1 + x + 3 x^{2}

Mir ist klar, dass ich es auch in der Form für die Approximation n-ter Ordnung schreiben kann, so wie du es getan hast. In der Aufgabe heißt es aber, ich soll es in der Form für die quadr. Approximation schreiben.

Mathe45

14:23 Uhr, 29.05.2014

Ich erhalte ebenfalls

f (x) \approx 1 + x + 3 \cdot x^{2}

Siehe grafische Übereinstimmung ( blau = Ausgangsfunktion, rot = Approx. )
( Das Koordinatensystem musst für das Zeichnen "gedreht werden" )

Klausi123 aktiv_icon

14:25 Uhr, 29.05.2014

Habe ich beim Zusammenfassen von 1+1(x−0)+1/2⋅6(x−0)^2 einen Fehler gemacht?

Mathe45

14:26 Uhr, 29.05.2014

Dein Ergebnis war ja:

1 + 1 \cdot (x - 0) + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot {(x - 0)}^{2} = 1 + x + 3 \cdot x^{2}

Das passt doch !

Klausi123 aktiv_icon

14:53 Uhr, 29.05.2014

Stimmt, mein Fehler, sorry.

Also nochmal als Zusammenfassung wie ich vorzugehen habe wenn ich implizierte Funktionen approximieren soll (egal ob lineare, quadratische oder n-ten Grades)

1 .)

Ich schreibe die Funktion um und tausche alle

y

durch

f (x)

2 .)

Ich leite bis zur notwendigen Ableitung ab

3 .)

Einsetzen von meinem gegebenen

x

in die ursprüngliche Funktion um

f (x 0)

zu erhalten

4 .)

Einsetzen von meinem gegebenen

x

in die abgeleitete Funktion um

f' (x 0)

zu erhalten

5 .)

Dann einsetzen der Ergebnisse aus Schritt 3 und

4

in die Formel und fertig

Noch eine Frage: Wenn ich also die Funktion so umschreibe, dass kein

y

mehr vorkommt, kann ich diesen Punkt:

(x, y) = (0,1)

vernachlässigen? Also

y = 1

muss ich dann nicht mehr beachten?

Ich habe hier mal eine neue Aufgabe, an der ich mich gerade versuche:
Die Gleichung

ln

xy+y+1

= 0

definiert implizit

y

als Funktion von

x

. Bestimmen Sie für

y

die lineare Approximation um

x =

e^−2 und

y = 1

.

Ich schreibe die Funktion um
ln(xy)+y+1=0

\Leftrightarrow

ln (x \cdot f (x)) + f (x) + 1 = 0

\Leftrightarrow

ln (x) + ln (f (x)) + f (x) + 1 = 0

Ich leite die Funktion ab:

\frac{1}{x} + \frac{1}{f (x)} \cdot f' (x) + f' (x) = 0

\frac{1}{x} + \frac{1}{f (x)} \cdot f' (x) + f' (x) = 0

wäre also die Ableitung der Funktion. Ist das bis hierhin korrekt?

Mathe45

15:13 Uhr, 29.05.2014

x = e^{- 2}

f (e^{- 2}) = 1

\Rightarrow f' (e^{- 2}) = - \frac{e^{2}}{2}

Klausi123 aktiv_icon

15:17 Uhr, 29.05.2014

Also nicht korrekt...?

Mathe45

15:31 Uhr, 29.05.2014

Doch ( ich hab's nur ausgerechnet )

\frac{1}{x} + \frac{1}{f (x)} \cdot f' (x) + f' (x) = 0

x = e^{- 2}

f (e^{- 2}) = 1

\Rightarrow

\frac{1}{e^{- 2}} + \frac{1}{1} \cdot f' (e^{- 2}) + f' (e^{- 2}) = 0

e^{2} + 2 \cdot f' (e^{- 2}) = 0 \Rightarrow f' (e^{- 2}) = - \frac{e^{2}}{2}

Gemäß

f (e^{- 2}) + f' (e^{- 2}) \cdot (x - e^{2})

also

1 - \frac{e^{2}}{2} \cdot (x - e^{- 2})

1 - \frac{e^{2}}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

- \frac{e^{2} \cdot x}{2} + \frac{3}{2}

( Grafik scheint zu passen )

... .

. muss offline gehen.
Noch viel Spass !

Klausi123 aktiv_icon

16:11 Uhr, 29.05.2014

Also das Ableiten an sich ist kein Problem, nur habe ich noch Schwierigkeiten mit dem späteren einsetzen von

x

Wenn ich

x

in meine Ausgangsfunktion

ln (x) + ln (f (x)) + f (x) + 1 = 0

einsetze um

f (x 0)

zu erhalten sieht das Ganze eingesetzt so aus:

ln (e^{- 2}) + ln (f (e^{- 2})) + f (e^{- 2}) + 1 = 0

Nur weiß ich nicht wie ich das aufzulösen habe.

Mathe45

01:54 Uhr, 30.05.2014

Aufgabenstellung:
"Die Gleichung

ln (x \cdot y) + y + 1 = 0

definiert implizit

y

als Funktion von

x

. Bestimmen Sie für

y

die lineare Approximation um

x = e^{- 2}

und

y = 1

x_{0} = e^{- 2}

und

y_{0} = f (x_{0}) = f (e^{- 2}) = 1

sind also vorgegeben und müssen nicht bestimmt werden.
Im Regelfall ist aber die unabhängige Variable ( meistens

x)

vorgegeben und der dazugehörige Funktionswert ( meistens

y

bzw.

f (x))

muss berechnet werden.
Würden wir

y_{0} = 1

nicht kennen, so müssten wir so vorgehen:

x_{0} = e^{- 2}

y_{0} = f (x_{0}) = f (e^{- 2}) =

ln (x \cdot y) + y + 1 = 0

ln (e^{- 2} \cdot y) + y + 1 = 0

ln (e^{- 2}) + ln (y) + y + 1 = 0

- 2 + ln (y) + y + 1 = 0

ln (y) + y = 1

Gleichungen dieser Art lassen sich idR. nicht algebraisch auflösen. Allerdings "sieht" man hier, dass

y = 1

eine Lösung darstellt ( möglicherweise gibt es andere Lösungen

),

denn

ln (1) = 0

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