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Quadratische Betragsungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Ungleichung mit Beträgen

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17:10 Uhr, 01.09.2011

Hallo,
Ich versuche mich schon eine Weile an der folgenden Ungleichung.

| x^{2} - 4 x - 21 | < 24

Ich weiß, dass ich mit einer Fallunterscheidung an die Aufgabe rangehen muss, aber trotzdem komm ich nicht auf die richtige Lösung. Ich würde mich freuen wenn mir jemand die Aufgabe Fall für Fall erläutern könnte dass ich ein Beispiel hab für solche Ungleichungen.

Mfg

Shipwater aktiv_icon

17:14 Uhr, 01.09.2011

Wie sehen denn deine Fallunterscheidungen aus? Als Lösung erhalte ich

L = (- 5; 1) \cup (3; 9)

weisbrot aktiv_icon

17:15 Uhr, 01.09.2011

hallo, ich denke du musst da mehrere fallunterscheidungen machen, probiers doch erstmal mit quadratischer ergänzung im betrag, vllt. krigst dus dann selbst hin;-)

NL4000 aktiv_icon

19:02 Uhr, 01.09.2011

Also ich bin so an die Aufgabe rangegangen:

| x^{2} - 4 x - 21 | < 24

zunächst die linke Seite in Prodkuktform:

| (x - 7) (x + 3) | < 24

Dann Fallunterscheidung, ich denke es gibt 4 Fälle:

Fall

1 :

x \geq 7

und

x \geq - 3

Die Betragszeichen fallen weg, also:

x^{2} - 4 x - 21 < 24

x^{2} - 4 x - 45 < 0

x 1 = 9

und

X 2 = - 5

also

L 1 = {7 \leq x \leq 9}

Ist des so richtig bis dahin?

Ich weiß dann noch dass ein weiterer Fall nicht geht und die anderen Beiden krieg ich nicht hin, ich wär echt froh wenn hier jemand die anderen 3 Fälle ausführlich mal hinschreiben könnte, dann könnte ichs mir vielleicht schon selbst daran erklären.
Mit Erklärung wär natürlich super. Die richtigen Lösugen wurden oben glaube ich ja schon gepostet.

Mfg

Shipwater aktiv_icon

19:20 Uhr, 01.09.2011

Versuchen wir doch mal ganz logisch an die Sache ranzugehen. Angenommen die Ungleichung würde

| z | < 24

lauten. Dann würde man sofort angeben können, dass die Ungleichung durch alle

- 24 < z < 24

gelöst wird. Nun lautet deine Ungleichung aber

| x^{2} - 4 x - 21 | < 24

. Lösung dieser Ungleichung sind also alle

x

für die

- 24 < x^{2} - 4 x - 21 < 24

gilt. Letztere Ungleichungskette kannst du in die beiden Ungleichungen

- 24 < x^{2} - 4 x - 21

und

x^{2} - 4 x - 21 < 24

zerlegen. Diese beiden Ungleichungen löst du jetzt separat. Dann erhältst du einmal alle

x

für die das Betragsargument größer als

- 24

ist und das andere mal alle

x

für die das Betragsargument kleiner als

24

ist. Der Schnitt dieser beiden Lösungsmengen ergibt also alle

x

für die das Betragsargument größer als

- 24

und zugleich aber auch kleiner als

24

ist. Genau diese

x

suchst du ja letztendlich auch.

Gruß Shipwater

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20:01 Uhr, 01.09.2011

Könntest du mir vielleicht versuchen es auf meine Art wie ich oben rangegangen bin zu lösen? ich meine der anfang dürfte ja stimmen mit dem ersten fall. Ich habe es bisher immer so gemacht mit ner normalen Fallunterscheidung.
Mfg

Shipwater aktiv_icon

20:18 Uhr, 01.09.2011

x^{2} - 4 x - 21 = (x - 7) (x + 3)

also

x^{2} - 4 x - 21 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 7 \lor x \leq - 3

Im ersten Fall betrachtest du also nur

x

mit

x \geq 7 \lor x \leq - 3

. Da das Betragsargument für diese

x

positiv (oder null) ist, lautet die Ungleichung

x^{2} - 4 x - 21 < 24

.
Im zweiten Fall betrachtest du dann die restlichen

x

also

- 3 < x < 7

. Da das Betragsargument für diese

x

negativ ist, lautet die Ungleichung

- (x^{2} - 4 x - 21) < 24

.
Jetzt musst du erstmal die einzelnen Ungleichungen lösen.

Gruß Shipwater

NL4000 aktiv_icon

20:39 Uhr, 01.09.2011

Danke für deine Hilfe :-)

Ich hätte es in 4 einzelnen Fällen gemacht

Fall

1 : x \geq 7

oder

x \geq - 3

Fall

2 : x \geq 7

oder

x \leq - 3

Fall

3 : x \leq 7

oder

x \geq - 3

Fall

4 : x \leq 7

oder

x \leq - 3

dann wär auch alles abgedeckt nehm ich mal an?!

Woher weißt du gleich dass du es mit nur 2 Fällen machen kannst?

Shipwater aktiv_icon

20:43 Uhr, 01.09.2011

Na das Betragsargument kann entweder negativ oder nichtnegativ werden. Was willst du da mit 4 Fällen?

NL4000 aktiv_icon

20:45 Uhr, 01.09.2011

Du hast Recht bei 2 beträgen im Term wären es dann aber 4 Fälle richtig?

Vielen Dank für die Hilfe

Shipwater aktiv_icon

20:45 Uhr, 01.09.2011

Kommt immer ganz auf die Ungleichung an.

NL4000 aktiv_icon

20:50 Uhr, 01.09.2011

eine Frage hab ich noch und zwar wie kommst du drauf dass das betragsargument positiv oder null ist im ersten Fall.

wenn ich

x \leq - 3

hab ists doch eig negativ weil ein Faktor somit negativ ist

Shipwater aktiv_icon

20:52 Uhr, 01.09.2011

Für

x \leq - 3

sind beide Faktoren negativ (oder null). Und Minus mal Minus ergibt nunmal Plus.

NL4000 aktiv_icon

20:53 Uhr, 01.09.2011

ja hast recht hab ich übersehen, danke dir :-)

Shipwater aktiv_icon

20:54 Uhr, 01.09.2011

Keine Ursache.

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