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Quadratische Gleichung. K berechnen ?

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

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Tags: Funktion

MASST5 aktiv_icon

16:58 Uhr, 24.07.2012

Hallo liebe Community,

Ich hab diese Aufgabe hier, womit ich gar nicht zurechtkomme. Ich verstehe nicht was die von mir wollen.

Für welche Werte von

k

hat die quadratische Gleichung
genau eine Lösung?

x²-k(x-1)+1=0

Hab morgen eine sehr wichtige Aufnahmeprüfung, wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen würdet. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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17:06 Uhr, 24.07.2012

Hallo,
Ich bin mir bei meiner Antwort nopicht hundert Prozent sicher, das hat den Grund, dass ich so eine Aufgabe noch nie hatte und nur durch überlegen eine Lösung gefunden hqbe, nicht durch Erfahrung.

Wie du weißt hat eigentlich jede quadratische Gleichung 2 Lösungen, und eigentlich wenn du navh auflösen die lösung

\pm 0

raus hast, ist es ja eigentlich nur eine Lösung, also denke ich dass

x = 0

sein muss, und dann müsstes du deine Gleichung nach

k

umstellen.

;-)

MASST5 aktiv_icon

17:11 Uhr, 24.07.2012

Danke für die Antwort :-)

Also ich hab genau da Probleme. Ich verstehe es noch nicht ganz, wie ich eine Gleichung nach bestimmten Werten umstelle. In diesem Fall K. Wie geht das denn genau?

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17:43 Uhr, 24.07.2012

Hallo,
Es ist schwierig deine Frage allgemein zu beantworten, denn ich habe auch mit einigen Gleichungen Probleme

z . b

. Mit kubischen, biquadratischen.... Eine Gleichung kann man durch umformen lösen,

z . b

x - 2 y + 17 x = 11

du weißt ja, dass die rechte Seite der Gleichung gleich der linken ist. Logischerweise bleiben beide seiten gleich, wenn du auf beiden seiten das selbe machst

z . b

+ 5

oder

- 2

oder

: y

oder...
Man muss versuchen wenn du nach

x

umstellst alle

x

auf eine Seite zu bekommen und den Rest auf die andere.
In

x - 2 y + 17 x = 11

konnen wir

x

und

+ 17 x

zusammen fassen und zwar zu

18 x

. Also haben wir eine neiue Gleichung

: 18 x - 2 y = 11

.Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung

+ 2 y

rechnen folgt

18 x - 2 y + 2 y = 11 + 2 y

. Da

- 2 y + 2 y = 0

folgt

18 x = 11 + 2 y (

im folgenden werde ich es nicht mehr ganz so ausführlich machen) wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung

: 18

rechnen folgt

x = \frac{11 + 2 y}{18}

. Fertig!!!

;-)

CRS-55 aktiv_icon

17:51 Uhr, 24.07.2012

Hallo!

Als erstes musst du versuchen die Gleichung zu lösen, also mit "Mitternachtsformel":

$\begin{array}{l} x^{2} - k (x - 1) + 1 = 0 \\ x^{2} - k x + k + 1 = 0 \\ x_{1, 2} = \frac{k \pm \sqrt{k^{2} - 4 \cdot (k + 1)}}{2} \end{array}$

Ein quadratische Gleichung wie diese hat entweder keine, genau eine oder genau zwei Lösungen. Wieviele, dass sieht man an der Diskriminante (Term unter Wurzel i.d. Mitternachtsformel);

Ist sie negativ gibt es keine Lösung in R,

ist sie null gibt es genau eine Lösung in R,

ist sie positiv gibt es genau zwei Lösungen in R.

Damit die Gleichung genau eine Lösung besitzt muss also gelten:

$\begin{array}{l} k^{2} - 4 (k + 1) = 0 \\ k^{2} - 4 k - 4 = 0 \end{array}$

Diese quadratische Gleichung löst man wiederum mit der Mitternachtsformel:

$\begin{matrix} k_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 4)}}{2} \\ k_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} \\ k_{1, 2} = 2 \pm 2 \sqrt{2} \end{matrix}$

Das sind also die zwei Werte für k für die deine Gleichung genau eine Lösung besitzt.

Underfaker aktiv_icon

17:51 Uhr, 24.07.2012

Also in manchem steckt vielleicht etwas Wahres aber das kann man so nicht sagen.

@MASSTS ich bin ein wenig enttäuscht, so eine Aufgabenstellung haben wir doch gemeinsam erarbeitet.

Benötigt wird bspw. die pq-Formel, dann betrachte wann die Diskriminante Null wird:

x^{2} - k (x - 1) + 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - k x + k + 1 = 0

x_{1,2} = \frac{k}{2} \pm \sqrt{{(\frac{k}{2})}^{2} - k - 1}

Und nun ist die Frage:

{(\frac{k}{2})}^{2} - k - 1 = 0 \Leftrightarrow k =

MASST5 aktiv_icon

18:06 Uhr, 24.07.2012

Ich bedanke mich für eure Antworten :-)

@Underfaker : Es ist echt schwer den Überblick zu behalten, ich verzweifle von Zeit zur Zeit dann läuft es irgendwann doch wieder gut. Ich hab mir in den letzten 3 Wochen soviel Mathematik Können angeeignet was ich noch nie in der Schule gesehen habe, irgendwie alles reingestopft.
Ist eben der Nachteil, wenn man in der Wirtschaftsschule Mathematik abgewählt hat. Jetzt holt mich eben diese Schandtat wieder ein.

Danke noch einmal für die Hilfe :-). Morgen früh ist es soweit. Darf in der Aufnahmeprüfung mir eine 5 erlauben und ich komme trotzdem durch. Trotzdem sind das stolze

20

Punkte im Durchschnitt.

Mathematica aktiv_icon

19:43 Uhr, 24.07.2012

Das hört sich aber

z i e m l i c h

einfach an, denn eine

5 . .

. na, ja.
Du wärest doch nicht zufrieden, wenn du eine 5 kriegen würdest oder?

;-)

Atlantik aktiv_icon

18:37 Uhr, 25.07.2012

Ich zeige es dir mal so:

x^{2} - k (x - 1) + 1 = 0

x^{2} - k \cdot x + k + 1 = 0

x^{2} - k \cdot x = - k - 1

Nun die quadratische Ergänzung

{(\frac{- k}{2})}^{2} = \frac{k^{2}}{4}

auf beiden Seiten
addieren:

x^{2} - k \cdot x + \frac{k^{2}}{4} = \frac{k^{2}}{4} - k - 1 = \frac{k^{2} - 4 k - 4}{4}

Jetzt das 2.Binom anwenden:

{(x - \frac{k}{2})}^{2} = \frac{k^{2} - 4 k - 4}{4} | \sqrt{}

x - \frac{k}{2} = \pm \sqrt{\frac{k^{2} - 4 k - 4}{4}}

Eine Lösung liegt dann vor, wenn die Diskriminante

= 0

ist

\frac{k^{2} - 4 k - 4}{4} = 0

k^{2} - 4 k = 4

{(k - 2)}^{2} = 4 + 4 = 8

k - 2 = \pm \sqrt{8}

k_{1} = 2 + \sqrt{8}

k_{2} = 2 - \sqrt{8}

mfG

Atlantik

MASST5 aktiv_icon

23:27 Uhr, 26.07.2012

Dankeschön für die ausführliche Antwort. Jetzt ist mir vieles klarer :-)

Hab die Prüfung bestanden und wurde auf die FOS angenommen. Die harte Arbeit hat wsich doch gelohnt :-)

Mathematica aktiv_icon

09:42 Uhr, 27.07.2012

Super!!! Und welche Note?

;-);-);-)

MASST5 aktiv_icon

00:43 Uhr, 28.07.2012

War die Note

4,

die ich doch sehr gut finde für meine Umstände. Was ich nicht glauben konnte, der Rektor hat mir gesagt das meine Arbeit die beste war. Also nur ich hatte die 4.

Ist aber völlig normal das die Noten sehr schlecht ausfallen bei den Aufnahmeprüfungen, da eben jeder ungefähr 2 Jahre kein Mathematik hatte. Bin doch sehr froh. Jetzt heißt es lernen und durchbeißen. Freu mich schon auf die Herausforderung :-))

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