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Quadratische Gleichung einer komplexen Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

kaumzuglauben aktiv_icon

19:11 Uhr, 21.02.2021

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

z^{2} + (2 j - 3) z + 5 - j = 0

Mein erster Lösungsansatz war diese Gleichung in die pq-Formel einzusetzen. Mit

p = 2 j - 3

und

q = 5 - j

- \frac{2 j - 3}{2} \pm

wurzel(((2j-3)/2)^2

- (5 - j))

Aber wie löse ich dann die Wurzel hinter den

\pm

auf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

19:33 Uhr, 21.02.2021

z^{2} + (2 j - 3) z = - 5 + j

{(z + \frac{2 j - 3}{2})}^{2} = - 5 + j + \frac{{(2 j - 3)}^{2}}{4}

w^{2} = a + b j . .

. mit

a =

; b =

?

usw..(zB: Polarform)

.

michaL aktiv_icon

19:35 Uhr, 21.02.2021

Hallo,

dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Setze "die" Wurzel an -> Gleichungssystem mit 2 Gleichungen (aber nicht linear):
Etwa

(a + i b)^{2} = (1, 5 + i)^{2} - (5 - i) = 2, 25 - 1 + 3 i - 5 + i = - 3, 75 + 4 i

Also:

a^{2} - b^{2} + 2 a b i = - 3, 75 + 4 i

(wenn ich mich nicht verrechnet habe)
Daraus das Gleichungssystem:

\begin{array}{rcl} a^{2} - b^{2} & = & - 3.75 \\ a b & = & 2 \end{array}

Alternativ (meine bevorzugte Methode) wandelst du den Radikanden in Polarform um.
Ist nämlich

φ

der Winkel einer Wurzel, so ist

2 φ

der Winkel des Quadrates (mod

2 π

rechnen).

Mfg Michael

rundblick aktiv_icon

19:48 Uhr, 21.02.2021

.
@Michael : erste Zeile (Vorzeichen in dieser Klammer ??)-> ..

= {(1,5 + i)}^{2} - . .

.

?

kaumzuglauben aktiv_icon

19:51 Uhr, 21.02.2021

Erstmal vielen Dank für die Antworten.

Michael könntest du bitte deine bevorzugte Variante genauer erklären? Gewöhnlich wie eine komplexe zahl potenzieren? bzw. könntest du das dann ausführlich anschreiben?

michaL aktiv_icon

20:08 Uhr, 21.02.2021

Hallo,

scheine mich da ja verrechnet zu haben...

(1, 5 - i)^{2}

, danke rundblick.

Nehmen wir doch mal als Radikanden

w := - 3 + 4 i

.
Es geht um die Polarform von

w

w = r \cdot e^{i φ}

Formeln finden sich im Netz:

r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

(entschuldige, ich hab's mir leicht gemacht...)

Zunächst berechne ich

α = \arctan (\frac{4}{3}) \approx 5 3^{\circ}

.
Damit gilt

φ = 180 - α \approx 12 7^{\circ}

(II. Quadrant).

Damit haben wir

w = 5 \cdot e^{126, \dots \cdot i}

.

Gehen wir vielleicht nochmal der Einfachheit halber von

φ = 12 7^{\circ}

aus.

Dann ist einer der Polarwinkel eben

\frac{φ}{2} = 63, 5^{\circ}

.
Der andere Polarwinkel ergibt sich aus:

\frac{360 + φ}{2} = 243, 5^{\circ}

Schau dir (im Zweifelsfall im Internet) an, wie man komplexe Zahlen multipliziert (und damit speziell auch potenziert), wenn die Zahlen in Polarform vorliegen.

Mfg Michael

kaumzuglauben aktiv_icon

20:42 Uhr, 21.02.2021

Also bekomme ich dann 4 Lösungen raus? Gehe ich grundsätzlich richtig vor und ist das soweit richtig?
Ich habe leider noch nie ein derartiges Beispiel mit komplexen Zahlen berechnet und ich finde dazu sonst nichts...

mfg

rundblick aktiv_icon

20:47 Uhr, 21.02.2021

.
"Nehmen wir doch mal als Radikanden w:=-3+4i."

warum denn nicht gleich die Werte der Aufgabe ..
dann bekommt der Fragesteller mindestens brauchbar friedliche Werte :-)

{(z + \frac{2 j - 3}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (- 15 - 8 j)

{(z + \frac{2 j - 3}{2})}^{2} = \frac{17}{4} (- \frac{15}{17} - \frac{8}{17} j) = r \cdot [cos (2 α) + j \cdot sin (2 α)]

... ... ... ... ... ... ... . .

. (also

\to r = \frac{17}{4}; cos (2 α) = - \frac{15}{17}

.und.

sin (2 α) = - \frac{8}{17} .

\Rightarrow 2 α =

? ..

\Rightarrow α_{1,2} =

\Rightarrow

z_{1,2} = - \frac{2 j - 3}{2} \pm \sqrt{r} \cdot [cos (α) + j \cdot sin (α)]

.
.
.

z_{1,2} = - \frac{2 j - 3}{2} \pm (- \frac{1}{2} + 2 j)

\Rightarrow

z_{1} = .

z_{2} = .

.

nebenbei noch dazu:
"Also bekomme ich dann 4 Lösungen raus?"
kaumzuglauben : eine quadratische Gleichung hat (auch) in

ℂ

keine vier Lösungen (sondern?).. :-)
.

kaumzuglauben aktiv_icon

21:28 Uhr, 21.02.2021

Vielen Dank, das hilft mir schon sehr weiter.

Noch ein Frage zu dem:

z1,2=−2j−32±r⋅

[

cos(α)+j⋅sin(α)]

.
.
.
z1,2=−2j−32±(−1/2+2j)
⇒

z 1 = .

z 2 = .

.

Gibt hier nicht der Grad der Wurzel auch die Anzahl der Lösungen an? Warum ist hier genau

- \frac{1}{2} + 2 j

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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