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Quadratische Gleichung lösen in C

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

drabherb aktiv_icon

19:03 Uhr, 11.11.2010

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit den Grundlagen der komplexen Zahlen.
Ich soll für die unten angeführte komplexe Gleichung jeweils Real- und
Imaginärteil der Lösung angeben.

z^{2} = 3 + 4 i

Generell wäre ja die Lösung

z = \sqrt{3 + 4 i}

Ich hab leider keinen Plan wie ich die Gleichung in den komplexen Zahlen angehn soll. Ich weiß zwar die Rechenregeln aber, wie ich die Lösungen bestimme für Real und Imaginären Teil...Ich bin echt am verzweifeln.

Vor allem weil ich nicht weiß was ich genau zeigen soll.

Die Komplexe Zahl ist

z

Der Realteil ist die reelle Zahl 3 und der Imaginäre Teil ist

4 i

wobei

i

selbst die imaginäre Zahl ist. Tja nur das wars auch schon. Bitte, bitte hat jemand die Zeit und das Interesse mir das anhand des Beispiels zu erklären?

Lg Herbert

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DK2ZA aktiv_icon

19:21 Uhr, 11.11.2010

z

hat jedenfalls die Form

a + b \cdot j

und du sollst die REELLEN Zahlen a und

b

finden.

Also lautet der Ansatz:

{(a + b \cdot j)}^{2} = 3 + 4 \cdot j

a^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot j + b^{2} \cdot j^{2} = 3 + 4 \cdot j

a^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot j - b^{2} = 3 + 4 \cdot j

Linke und rechte Seite müssen in Real- und Imaginärteil übereinstimmen:

a^{2} - b^{2} = 3

2 \cdot a \cdot b = 4 \to b = \frac{2}{a}

Letzteres einsetzen in

a^{2} - b^{2} = 3

ergibt

a^{2} - \frac{4}{a^{2}} = 3

a^{4} - 4 = 3 \cdot a^{2}

a^{4} - 3 \cdot a^{2} - 4 = 0

Diese Gleichung löst man durch Substitution:

a^{2} = u

Dann:

u^{2} - 3 \cdot u - 4 = 0

Lösungen sind

u_{1} = - 1

und

u_{2} = 4

a ist die Wurzel aus

u

. Also kommt

u_{1} = - 1

nicht in Betracht, da a reell sein muss.

Damit ist

a_{1} = 2

und

a_{2} = - 2

Für

b = \frac{2}{a}

folgt:

b_{1} = 1

und

b_{2} = - 1

Die gesuchten Lösungen sind also

z_{1} = 2 + j

z_{2} = - 2 - j

GRUSS, DK2ZA

drabherb aktiv_icon

19:44 Uhr, 11.11.2010

wow, echt vielen Lieben Dank. Genau das hab ich gebraucht eine praktische Umsetzung. Versteh jetzt was man überhaupt haben will. Die Substitutions Methode auf eine quadratische Gleichung ist mir bekannt, und die meisten anderen Schritte machen für mich auch Sinn.

VIELEN LIEBEN DANK! Jetzt gehts ran ans selber rechnen!

Lg Herbert

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