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Quadratische Gleichungen
Universität / Fachhochschule
Tags: Algebra
 
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Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen? a) Bestimmen Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung: ax^2+bx+c=0 b) x^2+px+q=0 c) x^2+px=0 d) für welche zahlen k hat die Gleichung x^2+12x+k=0 ganzzahlige Lösungen? e) Bestimmen Sie eine quadratische Gleichung, deren Lösungen jeweils doppelt so groß sind wie die von x^2-5x+6=0 |
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a) ax^2+bx+c=0 Mitternachtsformel: mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage495 x1/2 = (-b +- wurzel(b²-4ac))2a b) x^2+px+q=0 pq-Formel: x1/2 = -p/2 +- wurzel((p/2)²-q) c) x^2+px=0 x(x+p)=0 x = 0 oder x = -p d) für welche zahlen k hat die Gleichung x^2+12x+k=0 ganzzahlige Lösungen? x1/2 = -12/2 +- wurzel(144/4 - k) = -6 +- wurzel(36 - k) hat ganzzahlige lösungen, wenn wurzel(36-k) ganzzahlig, also wenn 36 - k eine Quadratzahl ist. k = 0 -> x1/2 = -6 +- 6 x1 = 0; x2 = -12 k = 11 -> x1/2 = -6 +- 5 x1 = -1; x2 = -11 k = 20 -> x1 = -2; x2 = -10 k = 27 -> x1 = -3; x2 = -9 k = 32 -> x1 = -4; x2 = -8 k = 35 -> x1 = -5; x2 = -7 k = 36 -> x1 = x2 = -6 e) Bestimmen Sie eine quadratische Gleichung, deren Lösungen jeweils doppelt so groß sind wie die von x^2-5x+6=0 LÖsungen von x²-5x+6 = 0 x1/2 = 5/2 +- wurzel(25/4 - 6) = 5/2 +- 1/2 x1 = 3; x2 = 2 jeweils doppelt so große Lösungen: x1 = 6, x2 = 4 (x-6)*(x-4) = 0 x²-6x-4x + 24 = 0 x² - 10x + 24 = 0 Fragen dazu? |
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Hallo, am einfachsten löst man zunächst b) b) x^2 + p*x + q = 0 1. Fall: p^2 - 4*q < 0 Keine reelle Lösung! 2. Fall: p^2 - 4*q = 0 Eine reelle Doppellösung: x = -p/2 3. Fall: p^2 - 4*q > 0 Zwei reelle Lösungen: x_1 = -p/2 - sqrt(p^2/4 - q) x_2 = -p/2 + sqrt(p^2/4 - q) a) a*x^2 + b*x + c = 0 --> x^2 + b/a*x + c/a = 0 p = b/a ; q = c/a ; Jetzt in die Lösung von b) einsetzen 1. Fall: b^2/a^2 - 4*c/a < 0 Keine reelle Lösung 2. Fall: b^2/a^2 - 4*c/a = 0 Eine reelle Doppellösung: x = -1/2*b/a 3. Fall: b^2/a^2 - 4*c/a > 0 Zwei reelle Lösungen: x_1 = -1/2*b/a - sqrt(1/4*b^2/a^2 - c/a) x_2 = -1/2*b/a + sqrt(1/4*b^2/a^2 - c/a) c) x^2 + p*x = 0 Gleichung umformen durch ausklammern (Man könnte dies auch als Spezialfall von b) lösen durch einsetzen (q = 0), die Fälle wären: 1. Fall ist nicht möglich, weil p^2 immer größer gleich Null und q =0, 2. Fall führt zu p=0 und damit die reelle Doppellösung x = 0 und der 3. Fall führt zu den beiden Lösungen x_1 = -p/2 - p/2 = -p und x_2 = -p/2 + p/2 = 0) x*(x + p) = 0 x_1 = 0 x_2 = -p d) x^2 + 12*x + k = 0 x_12 = -6 +- sqrt(36 - k) Ganzzahlige Lösungen nur für k <= 36 (ansonsten keine Lösungen und damit schon gar nicht ganzzahlige!) und es muß 36-k eine Quadratzahl (die kleiner gleich 36 ist!) sein. Liste aller Quadratzahlen kleiner gleich 36 mit dem dazugehörigen k: 36 : k = 0 25 : k = 11 16 : k = 20 9 : k = 27 4 : k = 32 1 : k = 35 0 : k = 36 Ganzzahlige Lösungen gibt es also für k ele {0 ; 11 ; 20 ; 27 ; 32 ; 35 ; 36} e) x^2 - 5*x + 6 = 0 x_12 = 5/2 +- sqrt(25/4 - 6) x_12 = 5/2 +- sqrt(1/4) x_12 = 5/2 +- 1/2 x_1 = 5/2 - 1/2 = 4/2 = 2 x_2 = 5/2 + 1/2 = 6/2 = 3 Doppelt so große Lösungen: x_1 = 4 ; x_2 = 6 0 = (x - 4)*(x - 6) = x^2 - 10*x + 24 Allgemein: x^2 + p*x + q x_12 = -p/2 +- sqrt(p^2/4 - q) n-Mal so große Lösung (n > 0): x_12 = n*(-p/2 +- sqrt(p^2/4 - q)) x_12 = -n*p/2 +- n*sqrt(p^2/4 - q) x_12 = -(n*p)/2 +- sqrt(n^2*(p^2/4 - q)) x_12 = -(n*p)/2 +- sqrt(n^2*p^2/4 - n^2*q) x_12 = -(n*p)/2 +- sqrt((n*p)^2/4 - n^2*q) Das ist die Lösungsformel für die quadratische Gleichung: x^2 + (n*p)*x + n^2*q |
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Hallo m@he! Danke für die Ergänzungen, insbesondere die Fallunterscheidungen bei a) und b) sind natürlich richtig und wichtig! |
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