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Quadratische Gleichungen,Textaufgabe

Schüler Berufskolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Gleichungen

Acer89 aktiv_icon

15:21 Uhr, 25.09.2010

Hallo zusammen,

habe leider große Probleme Textaufgaben zu lösen und dies ist genau eine von debenen.
Bitte um eure Hilfe.

Aufgabe:
Ein Ball wird auf einem Hang mit

30 %

Gefälle hangabwärts geworfen.
Wo trifft er auf wenn er aus der Höhe

h = 2 m

unter einem Winkel von 45° zur Horizontalebene mit einer Anfangsgeschwindigkeit

v 0 = 10 \frac{m}{s}

geworfen wird ?

(g = 9,81 \frac{m}{s^{2}})

Ich habe generell Probleme die Aufgaben zu verstehen und mit denen was vernünftiges anzufangen.

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Zephro aktiv_icon

17:48 Uhr, 25.09.2010

Für mich persönlich stellen jetzt die 30% Gefälle das Problem dar.

Sonst könnte man einfach die Formel
s=V*sin²alpha/g nehmen

So würde ich auf jeden fall auch erstmal anfangen.

Sobald wie den Wert haben wissen wir wie weit er weg ist wenn er

direkt parallel zu geraden Erdoberfläsche ist.

Nun müsste man errechnen wie viel m Höhenunterschied

die 30% den ausmachen.
s/100*30=h

h ist der weitere Weg in y Richtung

Jetzt muss ich noch V berechnen zu dem Zeitpunkt wo er mir direkt gegenüber steht.

V=Wurzel[V²(0)+g²+t²-2V(0)*g*t*sin alpha]

Wenn ich davon ausgehe, dass sich der Ball ab diesem punkt nur noch geradlinig bewegt, erhalte ich eine Näherung.

Acer89 aktiv_icon

16:33 Uhr, 27.09.2010

Hi,

ich verstehe nicht genau wie man zu dem Ansatz kommt.
Also mein Problem besteht darin das als Graphen vor Augen zu haben.
Könntest du mir das etwas näher schildern?

pleindespoir aktiv_icon

00:17 Uhr, 28.09.2010

Vielleicht hilft es einmal die Wurfparabel zu betrachten und den Hang mit Gefälle als lineare Funktion.

Dann Gleichsetzung der Funktionen ...

Acer89 aktiv_icon

17:42 Uhr, 30.09.2010

Danke für die Antwort jedoch verstehe ich die Zusammensetzung der Funktion nicht die aus der Wurfparabel entsteht.
Kann mir das einer verständlich erklären.

Als lösung der Aufgabe habe ich

14,64 m

stehen.
Die aus folgender Gleichung stammt

x = (\frac{6500}{981} + \frac{\sqrt{6187}}{981} \cdot 100)

Wie kommt man zu dieser Lösung ???

Danke im Voraus.

kalli

18:03 Uhr, 30.09.2010

Hallo,
ich bin zwar nicht so vertraut mit der Physik, aber 2 Informationen der Parabel hast DU über die Abwurfhöhe bei

t = 0,

nämlich

2,

also gilt:

f (0) = 2

und auch

f' (0) = 1,

da ein 45° Winkel ja einer Steigung von 1 entspricht. Die dritte Information solltest Du über die Geschwindigkeit bekommen.

LG

Acer89 aktiv_icon

18:22 Uhr, 30.09.2010

Danke für die schnelle Antwort.

Jedoch verstehe ich deinen Ansatz nicht.
Mein Problem bei der ganzen Sache ist ,dass ich da garnicht durchblicke.
Angefangen von dem Graphen und was ich mit den Angaben anstellen muss.
Momentan stelle ich mich zwar ziemlich dumm an aber sonst bin ich bei lösen quadratischer Gleichungen ziemlich fit.
Ich muss ja die strecke ermitteln die der Ball zurücklegt.
Nur wie bekomme ich das hin.
Ich kann da irgendwie keine Funktionen ermitteln.

Bitte um detaillierte Erklärung für einen wissensdurstigen Forumbesucher

\land

kalli

18:33 Uhr, 30.09.2010

Hallo,
Du musst nicht die Strecke ermitteln, die der Ball zurücklegt, sondern nur die Stelle, wo der Ball auf den Boden aufschlägt.

Du kannst Die Gleichung der Wurfparabel doch sicher aufstellen, das kann ich leider nicht, weil ich die dritte Information nicht umsetzen kann. Da müsste ich mich auch erst reinlesen. Wenn Du die Parabelgleichung hast, setzt Du die Parabel, die ja der Flugkurve des Balles entspricht mit der Geraden gleich, die Dein Boden darstellt. Der Schnittpunkt ist damit der Punkt, an dem der Ball auf den Boden aufschlägt.

LG

Acer89 aktiv_icon

18:51 Uhr, 30.09.2010

Danke für die Antwort.

Du hast ja die die 1.Bedingung aufgestellt

f (0) = 2

aber wie kommst du auf die erste Ableitung als zweite Bedingung
und wieso kannst du die 3 nicht aufstellen,die ich nebenbei auch nicht kann.
Und nein ich kann die Wurfparabel gleichung Leider nicht aufstellen.
Mit Wurfparabeln setze ich mich zum ersten mal auseinander

kalli

19:14 Uhr, 30.09.2010

Auf die ABleitung komme ich über den Abflugwinkel von 45°. Dies ist ja dann die Steigung in dem Punkt. Dies entspricht der ersten Winkelhalbierenden, die ja bekanntlich die Steigung 1 hat.
Die Dritte Bedingung bekommst Du irgendwie über Die Geschwindigkeit und die Erdbeschleunigung. Der Schiefe Wurf ist doch eine Überlagerung der beiden Bewegungen freier Fall und gleichförmige Bewegung nach vorne.

Hoffe das hilft Dir weiter.

Acer89 aktiv_icon

19:33 Uhr, 30.09.2010

Hmm ich komme mit dieser Aufgabe irgendwie nicht klar.
Also ich muss aus den 3 Bedingungen die ich aufstelle eine Parabelgleichung basteln und dann den

x

Wert ausrechnen.
Ich verstehe nicht wo die Anfangsgeschwindigkeit

v 0

hingehört hab mir mal die Wurfparabel auf wiki durchgelesen,naja schlau bin ich nicht gerad daraus geworden.

kalli

19:44 Uhr, 30.09.2010

Hallo,
ich glaube Du kannst über die Geschwingigkeit, die sich ja in horizontale und vertikale Geschwindigkeit aufteilt und der Erdbeschleunigung den Scheitelpunkt ermitteln. Da macht man glaube ich ein Geschwindigkeitsdiagramm und kannst so

v_{y}

bestimmen. Nun muss Du die Zeit bestimmen, wann die Erbeschleunigung so groß ist, dass die daraus errechnete GEschwindigkeit größer wird, als

v_{y}

. Damit hast Du den Scheitelpunkt. Mit dem Punkt

(0 | 2)

kannst Du dann die Parabelgleichung bestimmen.

Bin aber wirklich schon lange out of Topic, da ich das letzte Mal vor fast

20

Jahren sowas gerechnet habe (man bin ich alt geworden;-))

pleindespoir aktiv_icon

20:30 Uhr, 30.09.2010

Ein Ball wird auf einem Hang mit 30% Gefälle hangabwärts geworfen.

Wo trifft er auf wenn er aus der Höhe h=2m unter einem Winkel von 45° zur Horizontalebene
mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0=10ms geworfen wird ?

Nehmen wir man, der Werfer steht auf den Ursprung des Koordinatensystems auf Punkt 0/0.

Dann legen wir mal einfach fest, dass das Gefälle des Hanges "nach rechts" abfällt, also die Gleichung für die Hanglinie

y = - \frac{30}{100} \cdot x

.

Dann neheme ich mal an, dass die 45° Abwurfwinkel nach oben gemeint sind (nach unten könnte man ja auch werfen). die Anfangsgeschwindigkeit setzt sich aus 2 Komponenten zusammen - der horzontalen und der vertikalen.

v_{v_{A}} = v_{A} \cdot s i n (φ)

v_{h_{A}} = v_{A} \cdot c o s (φ)

Da solche Aufgaben üblicherweise luftleeren Raum ohne Verluste berechnet werden, sehen die Geschwindigkeitsverläufe wie folgt aus:

v_{h} (t) = v_{h_{A}}

v_{v} (t) = v_{v_{A}} - g \cdot t

die entsprechenden Weggleichungen :

x = v_{h_{A}} \cdot t

y = (v_{v_{A}} - g \cdot t) t + 2

Die Weggleichungen so zusammenbauen, dass t eliminiert wird.

t = \frac{x}{v_{h_{A}}}

y = (v_{v_{A}} - g \cdot \frac{x}{v_{h_{A}}}) \cdot \frac{x}{v_{h_{A}}} + 2

Das wäre dann die Wurfparabel.

Gleichsetzen mit der Hanggeraden und schon haben wir den Schnittpunkt ...

Acer89 aktiv_icon

21:18 Uhr, 30.09.2010

Danke für deine sehr detaillierte Antwort.
Das

φ

soll

45

Grad sein ?
Und mit was soll ich die Wurfparabel gleichsetzen das habe ich nicht so ganz verstanden.
Und noch etwas wenn man so eine Aufgabe serviert bekommt wie zum Geier soll man das mit der Zusammensetzung der Wurfparabel herausfinden oder ist das quasi ne Anleitung nach der man vorgeht.

kalli

21:28 Uhr, 30.09.2010

Mit dem schiefen boden. Den kanns Du als eine lineare Funktion auffassen. Du weisst, dass er durch den Ursprung geht und ein Gefälle von 30° hat. Über den Tangens kannst Du dann

m

bestimmen.
Mal Dir mal das Steigungsdreieck ein und betrachte den rechten Winkel.
Du erhälst dann

tan (α) = \frac{Δ y}{Δ x} = m

.
Damit kannst Du dann die Steigung ermitteln und hast die Gleichung der Bodengeraden.

pleindespoir aktiv_icon

21:35 Uhr, 30.09.2010

"Hang mit 30% Gefälle"

% \neq °

deshalb ist das mit dem Tangens hier falsch!

pleindespoir aktiv_icon

21:38 Uhr, 30.09.2010

Das

φ

soll 45 Grad sein ?

Ja, es ist der Abschusswinkel damit gemeint.

Und nochmals zur Entwirrung: Das Hanggefälle ist NICHT in Grad angegeben!

kalli

21:39 Uhr, 30.09.2010

Okay, dann ist die Steigung damit ja direkt gegeben und man muss sie nicht nochmals berechnen.

pleindespoir aktiv_icon

21:44 Uhr, 30.09.2010

Eben - die aufgabe ist ja offenbar ohnedies schwierig genug.

Wenn dann noch Grundlagendefizite vorliegen ... Gleichsetzen - wie geht das?!

P a r a b e l g l e i c h u n g (x) = H a n g g l e i c h u n g (x)

Acer89 aktiv_icon

21:45 Uhr, 30.09.2010

Das Gleichsetzungsverfahren ist mir bekannt jedoch war mir nicht klar bzw. ist mir nicht klar wir ich zur hanggleichung komme.

kalli

21:49 Uhr, 30.09.2010

m = - 0,3

(das entspricht den

30 %

Gefälle)

b = 0,

da durch den Ursprung. Damit die Geradengleichung aufstellen usw.

Acer89 aktiv_icon

21:51 Uhr, 30.09.2010

Danke euch.
Werde jetzt beide Gleichungen gleichsetzen und ausrechnen.
Vielleicht ergibt sich die ein oder andere Frage wieder.

Acer89 aktiv_icon

22:39 Uhr, 30.09.2010

Habe jetzt beides gleich gesetzt.
Hab folgendes raus.
Wurfparabel:y=(10*sin(45°)-9,81*x/(10*cos(45°)))*x/(10*cos(45°))+2
ausgerechnet

f (x) = (5 \cdot \sqrt{2} - 9,81 \cdot \frac{x}{5 \cdot \sqrt{2}}) \cdot \frac{x}{5 \cdot \sqrt{2}} + 2

zusammengefasst und gekürzt

x - 9,81 \cdot \frac{x^{2}}{{(5 \cdot \sqrt{2})}^{2}} + 2

umgeformt und gleichgesetzt

- 0,1962 \cdot x^{2} + x + 2 = - 0,3 \cdot x

- 0,1962 \cdot x^{2} + 1,3 \cdot x + 2 = 0

Wenn ich das ausrechne bekomme ich folgende

x

Werte

x 1 = 7,91 x 2 = - 1,28

hmm
In der Lösung steht etwas von einer Entfernung
ich zitiere:"Die Entfernung des Auftreffpunktes in horizontaler Richtung vom Abwurfort ist"

x = (\frac{6500}{981} + \frac{\sqrt{6187}}{981} \cdot 100) m = 14,64

hmm ich habe zwei

x

aber irgendwie ist mir nicht klar wo jetzt der sinn bleibt.
Der Ball wird auf einem Hang aus 2 Metern höhe geworfen naja in welche Richtung ich meine welchen

x

Wert muss ich jetzt nehmen.
Hab das ganze in Geogebra mal gepackt aber trotzdem kann ich den Sinn aus diesem Graphen nicht kriegen.
Warum ist der Schnittpunkt der der Punkt wo der Ball auftritt und wie kriege ich die Entfernung raus ?

pleindespoir aktiv_icon

23:20 Uhr, 30.09.2010

Da der Ball nur nach vorne geworfen wird, sind negative x-Werte ausserhalb des Definitionsbereiches.

Acer89 aktiv_icon

00:10 Uhr, 01.10.2010

Und was ist mit der Entfernung die ich erwähnt habe?
Und könnte meine Rechnung nachvollziehen bzw. ist Sie richtig?

kalli

06:18 Uhr, 01.10.2010

Hallo Acer,
Deine Rechnung erscheint auf den ersten Blick richtig zu sein, habe aber nicht exlizit nachtgerechnet sondern nur die Struktur der Rechnung betrachtet.

Wenn Du

x

hast, brauchst Du noch den y-Wert. Du willst ja nicht die Entfernung in x-RIchtung, sondern die Entfernung entlang des Bodens, also die Strecke von

(0 | 0)

bis
ZUM SP. Das errechnest Du dann mit dem Pythagoras, wobei ich immer noch nicht auf das vorgegebene Ergebnis komme.

kalli

06:34 Uhr, 01.10.2010

Hallo,
wenn ich mir Deine Rechnung anschaue,
dann resltiert deine

- 1,9 . .

.

Doch aus

- \frac{9,81}{{(\sqrt{2} \cdot 5)}^{2}}

.

Das kannst Du auch schreiben als:

- \frac{9,81}{50} = - \frac{981}{5000}

.
Wenn Du nun die pq Formel anwenden möchtest, musst Du mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Dann erhälst Du als

p : 1,3 \cdot (- \frac{5000}{981})

und damit

- \frac{6500}{981}

. Diese Zahl steht betragsmäßig so auch in der Lösung, allerdings wurde nicht durch 2 geteilt, was ich erwartet hätte aufgrund der pq-Formel.

pleindespoir aktiv_icon

07:15 Uhr, 01.10.2010

v_{v_{A}} = v_{A} \cdot s i n (φ)

v_{h_{A}} = v_{A} \cdot c o s (φ)

Da der Aufgabensteller freundlicherweise 45° als Abwurfwinkel vorgegeben hat, kann man schon mal etwas vereinfachen, da

s i n 45 ° = c o s 45 ° = ½ \sqrt{2}

y = (½ \sqrt{2} v_{A} - g \cdot \frac{x}{½ \sqrt{2} v_{A}}) \cdot \frac{x}{½ \sqrt{2} v_{A}} + 2

Klammer ausmultiplizieren:

y = (½ \sqrt{2} v_{A}) \cdot \frac{x}{½ \sqrt{2} v_{A}} - (g \cdot \frac{x}{½ \sqrt{2} v_{A}}) \cdot \frac{x}{½ \sqrt{2} v_{A}} + 2

y = x - (g \cdot \frac{x^{2}}{(½ \sqrt{2} v_{A})^{2}}) + 2

y = x - (\frac{g}{(½)^{2} (\sqrt{2})^{2} (v_{A})^{2}}) \cdot x^{2} + 2

y = x - (\frac{g}{(¼) (2) (v_{A})^{2}}) \cdot x^{2} + 2

y = x - (\frac{g}{(½) (v_{A})^{2}}) \cdot x^{2} + 2

y = x - 2 \frac{g}{(v_{A})^{2}} \cdot x^{2} + 2

Gleichsetzen mit der Hanggeraden :

y = - \frac{30}{100} \cdot x

- \frac{30}{100} \cdot x = x - 2 \frac{g}{(v_{A})^{2}} \cdot x^{2} + 2

0 = \frac{30}{100} \cdot x + x - 2 \frac{g}{(v_{A})^{2}} \cdot x^{2} + 2

0 = \frac{130}{100} \cdot x - 2 \frac{g}{(v_{A})^{2}} \cdot x^{2} + 2 ∣ \cdot (- ½)

0 = - \frac{65}{100} \cdot x + \frac{g}{(v_{A})^{2}} \cdot x^{2} - 1 ∣

0 = \frac{g}{(v_{A})^{2}} \cdot x^{2} - 0, 65 \cdot x - 1 ∣ \cdot \frac{(v_{A})^{2}}{g}

0 = x^{2} - 0, 65 \cdot \frac{(v_{A})^{2}}{g} x - \frac{(v_{A})^{2}}{g} ∣

Um den zugehörigen y-Wert des Aufschlagpunktes zu bekommen, benötigt man keinesfalls den Pytagoras, sondern setzt am einfachsten den gewonnenen x-Wert in die Hanggleichung ein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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