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Quadratische Ungleichung
Schüler Gymnasium,
Tags: Quadratische Ungleichung
 
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Hallo zusammen, könnte jemand bitte erklären: Wie kann man für eine Funktion den Wertebereich bestimmen. In der Aufgabestellung angegeben, dass diese Funktion die Werte abbildet. Ich habe zuerst versucht graphisch, indem ich eine Tabelle aufgestellt, zu lösen: Und habe tatsächlich gesehen, dass die Funktionswerte aus sind. Danach wollte ich den Intervall bestimmen, um zu sehen wann den Funktionswert annimmt. Mit der Formel bekomme ich da unter der Wurzel vorkommt. Und jetzt weiß ich nicht mehr, was ich weiter machen soll. Warum kommt aus als die Lösung eine leere Menge?????? Wie man oben sieht wenigstens, wenn eingesetzt sind, hat die Funktion den Wert . Danke im Voraus |
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Hallo Du hast dich verrechnet. Willst du mal verbessern? Prinzipiell hast du doch schon gute Ansätze. Mach dir klar, dass die Funktion eine Parabel erklärt. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? Mit einer Skizze vor Augen fällt dir die Vorstellung deines Tuns leichter...! Mit der pq-Formel ahne ich, willst du den Extrempunkt der Parabel bestimmen. Guter Ansatz! Mach mal konsequent weiter. Wo ist denn die Extremstelle? Was du mit "Warum kommt . eine leere Menge???" sagen willst, ist nicht verständlich. Für was willst du eine Menge bestimmen. Dass die Funktion mindestens auch die benannten positiven Funktionswerte einnehmen kann, hast du ja schon selbst richtig erkannt. |
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Zwischenfrage: "Quadratische Ergänzung" - wird das heute noch gelehrt? Das auf den Funktionsterm angewandt, und dann sollte sich die Sache eigentlich schnell erledigt haben. |
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Danach wollte ich den Intervall bestimmen, um zu sehen wann den Funktionswert annimmt. Offenbar bist du von anderen Aufgaben her gewohnt, die Nullstellen zu bestimmen und dann zu entscheiden, ob die Funktion zwischen diesen Nullstellen positive Funktionswerte aufweist oder "außerhalb" Und jetzt weiß ich nicht mehr, was ich weiter machen soll. Warum kommt aus z2−4z+5>0 als die Lösung eine leere Menge?????? Und jetzt findest du keine Nullstellen und bist irritiert. Genauer gesagt gibt es hier keine reellen Nullstellen, sondern die Lösung der quadratischen Gleichung sind zwei zueinander konjugiert komplexe Zahlen. Mach dir klar, dass der Graph deiner Funktion aus Punkten auf einer Parabel besteht. Wenn du nun keine reellen Nullstellen erhältst, bedeutet das, dass diese Parabel die x-Achse nicht schneidet. Sie liegt also entweder zur Gänze unterhalb oder zur Gänze oberhalb der x-Achse. Da du für einige Stellen bereits Funktionswerte bestimmt hast und diese positiv sind, wird die Parabel wohl oberhalb der x-Achse liegen müssen und ihr Scheitel ist der tiefste Punkt. Damit sollte klar sein, dass die Funktion beliebig große Werte annehmen kann. Um die Wertemenge zu bestimmen, musst du also die y-Koordinate des Scheitels ermitteln kleinstmöglicher Funktionswert). Dazu kannst du die Gleichung entweder auf die sog. Scheitelform bringen (mittels der von HAL9000 erwähnten quadratischen Ergänzung), in der du die beiden Koordinaten des Scheitels unmittelbar ablesen kannst, oder aber (wenn ihr komplexe Zahlen bereits behandelt habt) du weißt, dass die x-Koordinate des Scheitels das arithmetische Mittel der beiden Nullstellen ist - denn das gilt auch dann, wenn diese Nullstellen, so wie im vorliegenden Fall, nicht-reell sind. |
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