 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Quadratischer Rest
Quadratischer Rest
Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie
 
|
  |
|---|
|
Guten Tag, es gilt folgende Aufgabe zu lösen: Für welche Primzahlen p ist a = 13 bzw. b = 17 quadratischer Rest modulo p? Hierbei kann man das eulersche Kriterium benutzen und man erhält folgende Gleichung (für 13): Wie geht man nun vor um p zu erhalten? MfG, Noah |
|
 |
|
Hallo, ich würde das quadratische Reziprozitätsgesetz von Gauss benutzen. Hier zum Vergleichen der Fall : Ich habe mod Gruß ermanus P.S.: Hätte ich fast vergessen: 13 ist natürlich auch mod 2 ein Quadrat ;-) |
 |
|
Aber p soll doch eine Primzahl sein oder? Ich hab versucht das Reziprozitätsgesetz folgendermassen anzuwenden: Dadurch wäre p jede ungerade Primzahl bis 13. Oder irre ich da? MfG, Noah |
|
|
|
Oh, da irrst du gewaltig ;-) Aus deiner Gleichung folgt nämlich , also in Worten: 13 ist genau dann Quadrat mod , wenn Quadrat mod 13 ist. |
|
|
|
Aber p muss ja dennoch eine Primzahl sein. Wie würde ich Das Gesetz denn korrekt anwenden? Bin gerade etwas verwirrt. |
|
|
|
Nimm doch mal . Dann ist ja . Nun ist ein Quadrat mod 13; denn mod . Du musst also bestimmen, welche Restklassen mod 13 Quadrate von Restklassen mod 13 sind, und die ungeraden Primzahlen in einer solchen Klasse sind dann quadratische Reste, und damit die Restklasse von 13 modulo diesen Restklassen quadratische Reste/Restklassen. |
|
|
|
Und p=3 wäre die einzige Lösung da es keine andere Primzahl gibt, die quadratischer Rest mod13 ist. Bei kleinen Zahlen ist es ja noch möglich alle Zahlen einzeln auszuprobieren, aber was würde man denn machen bei grösseren Zahlen? |
|
|
|
Das verstehe ich nicht, es gibt unendlich viele ungerade Primzahlen, die quadratische Reste mod 13 sind. |
|
|
|
Ist die Antwort dann p sind alle ungeraden Zahlen die quadratischen Reste mod 13 sind, oder kann man diese noch genauer bestimmen? |
|
|
|
"Alle Primzahlen, die quadratische Reste mod 13 sind" ist eine richtige Antwort. Aber die kannst du noch genauer spezifizieren. Welches sind denn die kleinsten positiven qudratischen Rest mod 13? Ich denke, dass die Aufgabe so gemeint ist, dass du die genauere Angabe machst. |
|
|
|
Die kleinste Primzahl wäre dann 3. Und alle Primzahlen der Form 3+13k (k N) wären dann auch gültige p. Also alle Primzahlen die kongruent zu 3 mod 13 sind. Richtig? |
|
|
|
Hallo, um 9:46 habe ich für dich die Quadratreste mod 13 alle aufgeführt. Es ist ja nicht nur ein kleinster positiver Quadratrest ... |
|
|
|
Also wären diese Zahlen (1,3,4,9,10,12,13) alle mod 13 die Antwort? Das heisst 1 mod 13, 3mod13 usw. Und davon eben nur die Primzahlen. Wie würde man das denn sauber formulieren? |
|
|
|
Nun hast du wieder die zu den genannten quadratischen Resten mod 13 kongruenten Primzahlen weggelassen? Oder mitgemeint? Ich würde als Lösungsmenge schreiben Primzahl | mod . |
|
|
|
Ja, ich habs genau so gemeint (ohne die 2). Aber die 2 verwirrt mich. 2 ist tatsächlich eine Lösung aber kein quadratischer Rest mod 13. Wie kommt das? |
|
|
|
Für gelten spezielle Regeln beim quadratischen Reziprozitätsgesetz, siehe erster und zweiter Ergänzungssatz für und . |
 |
|
Okay habs verstanden:-) Vielen Dank! |
1511745
1511686