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Quadraturformel maximaler Ordnung

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Tags: Numerik, Numerische Integration, Quadraturformel, Sonstiges

keingenie91 aktiv_icon

17:02 Uhr, 21.03.2012

Hi,
hatte heute eine Aufgabe der folgenden Gestalt:
Sei

Q (f) = w_{0} f (x_{0}) + w_{1} f (1)

eine Quadraturformel eine Quadraturformel zur Approximation des Integrals

\int_{0}^{1} f (x) d x

. Bestimme

w_{0}, w_{1}, x_{0}

so, dass die Quadraturformel maximalen Genauigkeitsgrad hat.

Mein Vorgehen: Die Quadraturformel muss für die Monome exakt sein:
1.

f (x) = 1 \to \int_{0}^{1} 1 d x = 1 = w_{0} + w_{1}

f (x) = x \to \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2} = w_{0} \cdot x_{0} + w_{1}

f (x) = x^{2} \to \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} = w_{0} \cdot x_{0}^{2} + w_{1}

... Das könnte man so fortführen. Aber eig. müssten ja 3 Gleichungen reichen.
Nun mein Problem: Wie kann ich aus diesem nichtlinearen Gleichungssystem meine Parameter bestimmen?
Bislang haben wir immer lineare Gleichungssysteme erhalten aus denen man einfach die Stützstellen/Gewichte berechnen konnte.

Gruß,
keingenie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

dapso aktiv_icon

18:03 Uhr, 21.03.2012

Hallo
Zieh von der zweiten und dritten Gleichung jeweils die erste ab. Dann fällt

w_{1}

raus und du hast ein System mit nur noch zwei Variablen.
Es sollte so etwas wie

Q (f) = \frac{3}{4} f (\frac{1}{3}) + \frac{1}{4} f (1)

rauskommen.

keingenie91 aktiv_icon

18:59 Uhr, 21.03.2012

Erstmal danke für die Antwort...
Also ich ziehe von der zweiten und dritten Gleichung jeweils die erste ab:

\Rightarrow

2 . w_{0} (x_{0} - 1) = - \frac{1}{2}

3 . w_{0} (x_{0}^{2} - 1) = - \frac{2}{3}

Das könnte ich jetzt gleichsetzen und erhalte:

w_{0} \cdot x_{0} - w_{0} + \frac{1}{2} = w_{0} \cdot x_{0}^{2} - w_{0} + \frac{2}{3}

\Rightarrow w_{0} \cdot x_{0}^{2} - w_{0} \cdot x_{0} + \frac{1}{6} = 0

\Rightarrow ?

Und nun? Ich seh da leider noch nicht wie ich auf meine Parameter komme...

Gruß,
keingenie

dapso aktiv_icon

19:17 Uhr, 21.03.2012

3. kann man umschreiben zu

w_{0} (x_{0} - 1) (x_{0} + 1) = - \frac{2}{3}

Jetzt 2. nach

x_{0} - 1

umformen und oben einsetzen.

keingenie91 aktiv_icon

19:43 Uhr, 21.03.2012

Ok also ich forme 3. nach

x_{0} - 1

um (dabei muss ich natürlich annehmen, dass

w_{0} \neq 0

x_{0} - 1 = - \frac{1}{2 w_{0}}

Einsetzen in 3. liefert:

w_{0} (- \frac{1}{2 w_{0}}) (x_{0} + 1) = - \frac{2}{3}

\Rightarrow x_{0} = \frac{1}{3} \Rightarrow w_{0} = \frac{3}{4} \Rightarrow w_{1} = \frac{1}{4}

\Rightarrow Q (f) = \frac{3}{4} f (\frac{1}{3}) + \frac{1}{4} f (1)

Jetzt könnte ich diese Quadraturformel für höhere Monome testen und so den Genauigkeitsgrad bestimmen.
Ok Danke dir dapso!
Hat sich somit erledigt.

Gruß,
keingenie

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