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Quadratzahl durch 4 und durch 6

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit

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01:40 Uhr, 13.01.2010

Wie kann ich herausfinden, dass bei einer Quadratzahl, mit gerader Basis, bei Division durch 8 kein Rest raus kommt?
Also bei

{(2 m + 1)}^{2}

schaffe ich es. Rest 1.
Bei

{(2 m)}^{2}

komme ich nicht weiter.

Wieso kann man begründen, dass eine natürliche Zahl, bei Division durch 6 mit Rest

2,

keine Quadratzahl vorliegt?

N)

Wäre für Hilfe Dankbar

hagman aktiv_icon

10:55 Uhr, 13.01.2010

{(2 m)}^{2}

ist im Allgemeinen nicht durch 8 teilbar.

{(2 \cdot 1)}^{2} = 4, {(2 \cdot 3)}^{2} = 36, {(2 \cdot 5)}^{2} = 100, . .

.

Modulo 6 gilt

0^{2} \equiv {0,1}^{2} \equiv 1, 2^{2} \equiv 4, 3^{2} \equiv {3,4}^{2} \equiv 4, 5^{2} \equiv 1

Da in keinem Fall

\equiv 2

herauskommt, ist

n^{2} \equiv 2 mod 6

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19:22 Uhr, 13.01.2010

Wennn ich eine Quadratzahl durch 6 dividiere, bekomme ich folgende mögliche Reste:

1,2,3,4,5

1^{2} = 1

2^{2} = 4

3^{2} = 9

4^{2} = 16

5^{2} = 25

dividiere ich nun durch 6 erhalte ich wieder folgende Reste

1,2,3,4,1

Wieso mache ich das, und was sagt mir dann, dass 2 niemals ein Rest sein kann?

Ich verstehe das nicht?

michaL aktiv_icon

19:34 Uhr, 13.01.2010

Hallo,

mein erster Gedanke zu dem thread war auch, dir die Tabelle der Quadrate modulo 6 aufzuschreiben...
Mal zur Erläuterung: Sei

x

eine ganze Zahl. Wir machen mal eine Fallunterscheidung:
Ist

x

durch 6 teilbar, d.h. gilt

x \equiv 0 mod 6 \overset{}{\Leftrightarrow} x = 6 k

für ein

k

, dann gilt für

x^{2} = (6 k)^{2} = 36 k^{2}

x^{2} \equiv 0 mod 6

.

Ok, nehmen wir mal

x \equiv 1 mod 6 \overset{}{\Leftrightarrow} x = 6 k + 1

\Rightarrow x^{2} = (6 k + 1)^{2} = 36 k^{2} + 12 k + 1 \equiv 1 mod 6

Wenn du mal die Fälle

x \equiv 2 mod 6

x \equiv 3 mod 6

x \equiv 4 mod 6

und

x \equiv 5 mod 6

machst, fällt dir auf, dass kein Quadrat kongruent 2 modulo 6 ist.

Warum ist man damit fertig? Naja, irgend einen Rest modulo 6 muss die fragliche Zahl, deren QUADRAT kongruent 2 modulo 6 ist, ja haben. Mit dieser Untersuchung ist gezeigt, dass aber kein Rest zu einem Quadrat mit Rest 2 führt.

Mfg MIchael

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21:37 Uhr, 14.01.2010

Vielen Dank!

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