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Quadratzahlen

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Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

Jger1 aktiv_icon

15:42 Uhr, 12.08.2020

Für welche positiven ganzen Zahlen

x, y

sind

x^{2} + 3 y

und

y^{2} + 3 x

Quadratzahlen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

15:52 Uhr, 12.08.2020

x^{2} + 3 y = a^{2}

y^{2} + 3 x = b^{2}

Es muss auf jeden Fall

a \geq x + 1

sowie

b \geq y + 1

gelten.

Als erstes fällt mir auf, dass NICHT zugleich

a \geq x + 2

und

b \geq y + 2

gelten kann: Denn dies führt zu

3 y \geq 4 x + 4 > 3 x \geq 4 y + 4

, Widerspruch. Darauf aufbauend kann man die Fallunterscheidung

1)

a = x + 1

b = y + 1

durchführen, wobei man sich der Symmetrie des Problems wegen o.B.d.A. auf 1) konzentrieren kann. Weiter bin ich jetzt noch nicht gegangen.

EDIT: Ist ja dann doch überraschend schnell zu Ende mit den drei Lösungspaaren (1,1), (16,11) und (11,16). :-)

anonymous

06:31 Uhr, 14.08.2020

Hallo,

ich habe mich ausgehend von HALs Früchten
mal zur Lösungsmenge vorgetastet, falls es
Jemanden interessiert...

x^{2} + 3 \cdot y = a^{2}

y^{2} + 3 \cdot x = b^{2}

mit

x, y, a, b \in N_{> 0}

und oBdA

a = x + 1

\Rightarrow

(I) 3 \cdot y = 2 \cdot x + 1

(liefert

y mod 2 = 1, x mod 3 = 1)

(I I) y^{2} + 3 \cdot x = b^{2}

(I)

jeweils nach

x

und

y

aufgelöst und in

(I I)

eingesetzt liefert...

\frac{4 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 1}{9} + 3 \cdot x = b^{2} = y^{2} + \frac{9}{2} \cdot y - \frac{3}{2}

\Rightarrow \frac{4 \cdot x^{2} + 31 \cdot x + 1}{9} = \frac{2 \cdot y^{2} + 9 \cdot y - 3}{2}

\Rightarrow 8 \cdot x^{2} + 62 \cdot x + 29 = 18 \cdot y^{2} + 81 \cdot y

\Rightarrow x^{2} + \frac{31}{4} \cdot x = \frac{9}{4} \cdot y^{2} + \frac{81}{8} \cdot y - \frac{29}{8}

\Rightarrow {(x + \frac{31}{8})}^{2} = \frac{9}{4} \cdot y^{2} + \frac{81}{8} \cdot y + \frac{729}{64}

\Rightarrow x = - \frac{31}{8} \pm \frac{3}{2} \cdot \sqrt{y^{2} + \frac{9}{2} \cdot y + \frac{81}{16}}

\Rightarrow x = - \frac{31}{8} \pm \frac{3}{2} \cdot \sqrt{{(y + \frac{9}{4})}^{2}}

\Rightarrow x = \frac{3}{2} \cdot y - \frac{1}{2}

...die verblüffende Erkenntnis, dass

x

und

y

in linearer Beziehung
zueinander stehen.
Wir nutzen die bei

(I)

gefundenen Modulo-Bedingungen...

3 \cdot x' + 1 = \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot y' + 1) - \frac{1}{2}

mit

x', y' \in N

\Rightarrow x' = y'

...und finden

x = 3 \cdot n + 1, y = 2 \cdot n + 1

mit

n \in N

.

Wir setzen die Terme in

(I I)

ein...

4 \cdot n^{2} + 13 \cdot n + 4 = b^{2}

...und substituieren

b = 2 \cdot n + d,

wobei

d \in N_{> 0} :

13 \cdot n + 4 = 4 \cdot n \cdot d + d^{2}

\Rightarrow \frac{13 \cdot n + 4}{d} = 4 \cdot n + d

.

Wir finden

d \in {1,2,3},

denn für

d \geq 4

ist der rechte Term größer als der linke.
Durchprobieren:

d = 1 \Rightarrow 13 \cdot n + 4 = 4 \cdot n + 1 \Rightarrow 9 \cdot n = - 3 \Rightarrow

keine Lösung,

d = 2 \Rightarrow 13 \cdot n + 4 = 8 \cdot n + 4 \Rightarrow 5 \cdot n = 0 \Rightarrow n = 0 \Rightarrow x = y = 1

d = 3 \Rightarrow 13 \cdot n + 4 = 12 \cdot n + 9 \Rightarrow n = 5 \Rightarrow x = 16, y = 11

.

Wegen der Symmetrie ist dann auch noch

x = 11, y = 16

eine Lösung.

HAL9000

08:46 Uhr, 14.08.2020

Ich bin nach "o.B.d.A.

a = x + 1

" so vorgegangen: Dann ist zunächst mal

3 y = 2 x + 1

.

1.Fall:

b = y + 1

ergibt

3 x = 2 y + 1

, das zugehörige GLS hat die Lösung

x = 1, y = 1

.

2.Fall:

b = y + 2

ergibt

3 x = 4 y + 4

, das zugehörige GLS hat die Lösung

x = 16, y = 11

.

3.Fall:

b \geq y + 3

, hier ist

3 x \geq 6 y + 9 = 4 x + 11

, was keine Lösungen

x > 0

hat.

Die Symmetrie ergibt dann zusätzlich noch die Lösung

x = 11, y = 16

anonymous

16:19 Uhr, 14.08.2020

Oh yo, clever...

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