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Quadratzahlen - Mathe Olympiade

Universität / Fachhochschule

Tags: Olympiade, Quadratzahl

MSchmidtPujol aktiv_icon

17:52 Uhr, 13.10.2019

Guten Tag,

Finde die natürliche Zahl

A,

bei der gilt:

10 A

ist eine Quadratzahl und

6 A

ist eine Kubikzahl. (Lösung

A = 36000 \cdot n^{6}, n

natürlich)

Ich bin nicht in der Lage dieses Problem ohne Excel zu lösen, meine 2 Versuche:

Weg 1:
Ich fixiere mich auf die

A' s

bei denen

10 A = x^{2}

gilt. Das ist

z . B : A = 100 (10^{2}), 400 (20^{2}), 900 (30^{2}),

also

A = {(10 \cdot n)}^{2} = 100 \cdot n^{2}

Nun fixiere ich mich auf die

A' s

bei denen

6 A = y^{3}

gilt. Das ist

z . B : A = 36 (36 \cdot 1^{3}), 288 (36 \cdot 2^{3}), 972 (36 \cdot 3^{3}),

also

A = 36 \cdot m^{3}

.

Nun setze ich

100 \cdot n^{2} = 36 \cdot m^{3}

. Jetzt kann ich rumspielen, zerlege die koeffizienten in Primzahlen

(5^{2}) \cdot (2^{2}) \cdot n^{2} = (3^{2}) \cdot (2^{2}) \cdot m^{3} < - >

(5^{2}) \cdot n^{2} = (3^{2}) \cdot m^{3}

. Von diesem Punkt an, denke ich bin nah an der Lösung aber ich komme nicht weiter.

Weg 2 (Foto). Faktorisierung von

A

in Primzahlen.

Danke schonmal im Voraus

P . S :

Ich lebe in Katalonien und hier gibt es am Ende des Schuljahrs ein Examen, um Verbeamteter Mathematiklehrer in der Sekundarstufe zu werden, da tauchen sehr oft solche Aufgaben von Mathematik-Olympiaden auf.

Das Problem ist hier zu finden: www.acm.ciens.ucv.ve/main/entrenamiento/material/TeoriaDeNumeros.pdf (auf Spanisch). Die Lösung ist auch zu finden, aber ich verstehe sie nicht. Der vorgegebene Lösungsweg ist über Primfaktorzerlegung.

Marc Schmidt Pujol

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:46 Uhr, 13.10.2019

Hallo,
die Primzahlen, die in 10 und 6 aufgehen sind

2, 3, 5

.
Daher setzen wir an:

A = 2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}

.
Dann haben wir:

10 A = 2^{x + 1} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z + 1}

und

6 A = 2^{x + 1} \cdot 3^{y + 1} \cdot 5^{z}

10 A

soll ein Quadrat sein, also

x + 1, y, z + 1

müssen gerade Zahlen sein.

6 A

soll ein Kubus sein, also

x + 1, y + 1, z

müssen durch 3 teilbar sein.

x :

x + 1

gerade, folgt:

x = 1, 3, 5, 7, . . .

x + 1

durch 3 teilbar folgt:

x = 2, 5, 8, . . .

Die kleinste gemeinsame Zahl dieser Folgen ist

x = 5

y :

y

gerade, folgt

y = 2, 4, 6, 8, . . .

y + 1

durch 3 teilbar folgt: y=2,5,8, ...

Die kleinste gemeinsame Zahl ist

y = 2

z :

z + 1

gerade, folgt z=1,3,5,7, ...

z

durch 3 teilbar: z=3,6,9,...

Die kleinste gemeinsame Zahl ist

z = 3

.

Hieraus ergibt sich

A = 2^{5} 3^{2} 5^{3} = 36000

.

Gruß ermanus

MSchmidtPujol aktiv_icon

21:43 Uhr, 13.10.2019

Vielen Dank für die rasche Antwort Ermanus!

Ich verstehe nicht wie du auf die Exponente kommst. Also

10 A = 2^{x + 1} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z + 1}

und woher weist du, dass der Exponent von zwei

x + 1

ist, der von 3 nur

y

und der von fünf

z + 1

.

Dank der Tabelle die ich gemacht habe, sehe ich, dass der Exponent von 2 ungerade ist und der von 5 auch. Aber mehr sehe ich nicht...

ermanus aktiv_icon

21:55 Uhr, 13.10.2019

Ich habe doch den Ansatz

A = 2^{x} 3^{y} 5^{z}

gemacht; denn irgendwelche Exponenten
werden die Primzahlen

2, 3

und

5

doch haben, wenn man die Primfaktorzerlegung
von

A

macht. Wenn man nun

A

mit

10

multipliziert,
bekommt man

10 \cdot 2^{x} 3^{y} 5^{z} = 2 \cdot 2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5 \cdot 5^{z} = 2^{x + 1} 3^{y} 5^{z + 1}

;
entsprechend verfährt man mit

6 A

MSchmidtPujol aktiv_icon

13:27 Uhr, 14.10.2019

Gestern war ich nicht mehr Fit. Super, ich verstehe deinen Lösungsvorschlag perfekt. Sehr verständlich und efizient, vielen Dank Ermanus.
Grüsse aus Katalonien

HAL9000

11:50 Uhr, 15.10.2019

@ermanus

In deiner Argumentation kommt nicht so deutlich heraus, dass

A

durchaus auch andere Primfaktoren als 2,3,5 enthalten darf.

Ich würde so argumentieren: Die Zahl

\frac{(9 \cdot 10 A)^{3}}{(6 A)^{2}} = 20250 A

ist laut Voraussetzung sechste Potenz einer rationalen Zahl. Da sie aber sogar ganzzahlig ist, muss sie sechste Potenz einer ganzen Zahl sein, d.h., jeder Primfaktorexponent dieser Zahl muss durch 6 teilbar sein. Nun ist

20250 A = 2^{1} \cdot 3^{4} \cdot 5^{3} \cdot A

,

d.h. die Exponenten für die Primfaktoren

p > 5

von

A

müssen unmittelbar durch 6 teilbar sein, während für die Primfaktoren

p = 2, 3, 5

auf Vielfache von 6 "aufgefüllt" werden muss. Das führt unmittelbar zu

A = 2^{6 - 1} \cdot 3^{6 - 4} \cdot 5^{6 - 3} \cdot n^{6} = 36000 n^{6}

mit irgendeiner natürlichen Zahl

n

ermanus aktiv_icon

12:09 Uhr, 15.10.2019

Hallo HAL9000,
so wie der Anfrager die Aufgabe dargestellt hat, gebe ich dir Recht.
In der spanischen Originalaufgabe steht aber meines Erachtens,
dass nach der kleinsten Zahl

A

gesucht wird: " ... el menor numero ...".
Leider bekomme ich den Link zu diesem Originaltext
gerade nicht geöffnet, keine Ahnung warum.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

15:56 Uhr, 15.10.2019

Nun funktioniert die Seite aus Venezuela wieder.
Dort steht:
Problema 9.(Canguro 2007, 9o) Halle el menor numero natural A tal que 10A es
un cuadrado perfecto y 6A es un cubo perfecto.
Daher meine Lösung.

HAL9000

21:32 Uhr, 15.10.2019

Naja, ich nehme die Aufgaben wörtlich, so wie sie HIER gestellt werden - nicht, wie (vermeintliche?) Originale lauten.

ermanus aktiv_icon

21:42 Uhr, 15.10.2019

Das sind nicht vermeintliche Originale, sondern der vom
Fragesteller selbst zitierte Link, den du selbst einsehen kannst.
Übrigens ist das, was ich dazu geschrieben habe,
keine Kritik daran, es anders zu machen. Ich wollte einzig darauf hinweisen,
dass ich mich auf den Text der Aufgabe bezogen habe und nicht auf die
vom Fragesteller zitierte Lösung. In Bezug auf die dem Fragesteller
zur Verfügung stehende Lösung und seine diesbezügliche Frage hast du
natürlich vollkommen Recht.
Gruß ermanus

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