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Quadratzahlen und modulo 4

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: rest, Teilbarkeit

 
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Beathoven

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14:34 Uhr, 16.08.2009

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Hallo,

ich sitze momentan über einem Beweis und habe eine Frage.

Und zwar lässt ja eine Quadratzahl bei der Division durch 4 immer den Rest 0 oder 1.

Meine Frage, wenn ich zeigen kann das eine Zahl bei der Division durch 4 den Rest 2 lässt, kann ich dann schlussfolgern, dass diese Zahl keine Quadratzahl?

Wäre nett, wenn ihr mir antworten könntet!

MFG Beathoven
Online-Nachhilfe in Mathematik
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HP7289

HP7289 aktiv_icon

15:56 Uhr, 16.08.2009

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Sei g∈ℕ gerade und eine Quadratzahl. D.h. ∃n∈ℕ mit g=n2.

Angenommen n ist ungerade, d.h. ∃k∈ℕ:n=2k-1.

⇒g=n2=(2k-1)2=4k2-4k+1=2⋅(2k2-2k)+1

⇒g ungerade

Wid.!

⇒n gerade

Sei n=2k für ein k∈ℕ.

⇒g=n2=(2k)2=4k2

⇒g ist durch 4 teilbar



Ich habe gezeigt:

g ist eine gerade Quadratzahl ⇒g ist durch 4 teilbar

⇔

g ist nicht durch 4 teilbar ⇒g ist keine Quadratzahl
Frage beantwortet
Beathoven

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16:22 Uhr, 16.08.2009

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Danke für deine ausführliche Antwort!

Ich habe aber gemerkt, dass mir dass nicht meinen Beweis vervollständigt.

Ich dachte ursprünglich, dass 16k2-8k-2a=c2 keine Lösungen hat (alles nat. Zahlen). Und für alle ungeraden a, wäre ja c2 nicht durch 4 teilbar und somit keine Quadratzahl, aber nicht für alle a.

Naja mal sehen, viell. findet sichja noch was...
Antwort
HP7289

HP7289 aktiv_icon

18:06 Uhr, 16.08.2009

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Was ist denn die Aussage, die bewiesen werden soll?
Frage beantwortet
Beathoven

Beathoven aktiv_icon

18:27 Uhr, 16.08.2009

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Das ist eine Aufgabe aus der Wurzel(Zeitschrift), also wärs unfair, wenn ich jetzt hier Hilfe bekomme. Die Aufgabe lautete, dass man alle natürlichen Zahlen a,b,c finden soll, für die 4|a+b und a2-2a=b2+c2 gilt. Ich habe a+b=4k def. mit k element N und für b substituiert und wollte zeigen, dass keine Quadratzahl existiert (wie oben beschrieben) und somit es keine Zahlen a,b,c gibt, was ich ganz stark vermute...