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Quadrik: gesucht Länge der Hauptachsenabschnitte

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Tags: Hauptachsen, Hauptachsenabschnitt, Kegelschnitt, Quadrik

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14:32 Uhr, 26.02.2013

Hallo!

Zu zeigen ist, dass Quadrik

Q = 3 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 3 x_{2}^{2} - 2 x_{1} + 10 x_{2} - 5 = 0

eine Ellipse ist.
Desweiteren sind gesucht: Mittelpunkt, Hauptachsen und Länge der Hauptachsenabschnitte.

Soweit bin ich gekommen:

Q = E l l i p s e

mit Mittelpunkt

M = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 2 \end{array})

Meine Hauptachsen sind:

a_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 2 \end{array}) + ℝ \cdot (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \end{array})

und

a_{2} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 2 \end{array}) + ℝ \cdot (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \end{array})

Meine Eigenwerte sind

λ_{1} = 2

und

λ_{2} = 4

Die Hauptachsenabschnitte sind definiert mit

\frac{1}{\sqrt{} λ_{1}}

bzw.

\frac{1}{\sqrt{} 2}

und

\frac{1}{\sqrt{} λ_{2}}

bzw.

\frac{1}{\sqrt{} 4}

also

\frac{1}{2}

Stimmt das??
Und wie komme ich dann auf die Länge der Hauptachsenabschnitte??

Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

19:39 Uhr, 28.02.2013

du musst das Ganze auf Normalform bringen!

ich hoffe, dass meine Rechnung erkennbar ist - ansonsten melden.

Ein Tipp www.mpi-inf.mpg.de/departments/d1/teaching/ss10/MFI2/kap49.pdf
speziell S.165ff

dkore aktiv_icon

20:03 Uhr, 28.02.2013

Super! Vielen Dank!

anonymous

09:33 Uhr, 01.03.2013

wenn du willst, noch eine kleine Ergänzung:

anonymous

12:15 Uhr, 03.03.2013

du musst kontrollieren - offensichtlich ist mir ein (kleiner) Rechenfehler unterlaufen.

da mir das Ganze Spaß gemacht hat, bin ich mal zur Kontrolle "rückwärts" gegangen:
Ausgehend von der geg. Quadrik und dem berechneten Mittelpunkt M(1/-2) führe ich zunächst eine Translation durch, die M nach (0/0) bringt:
x´= x+1 ; y´= y-2
dann geht die Gleichung über in (den "Strich" lasse ich mal weg):
3x^2 + 3y^2 +2xy -14 = 0

Jetzt führe ich eine (aktive) Rotation um (0/0) mit alpha=45° (also im Gegenuhrzeigersinn) durch

(\bar{x}, \bar{y}) = (\binom{c o s (α) - s i n (α)}{s i n (α) c o s (α)}) (\binom{x}{y}) = \frac{1}{2} \sqrt{2} (\binom{1 - 1}{1 1}) (\binom{x}{y})

Dann geht die Gleichung über in

4 x^{2} + 8 y^{2} = 28

und letztlich in

\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{3, 5} = 1

so dass sich für die Halbachsen ergibt:

a = \sqrt{7}, b = \sqrt{3, 5}

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