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Quadrik im R^3

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung

Ventura aktiv_icon

08:12 Uhr, 24.07.2014

Hallo
Hätte eine Frage zu einer Übungsprüfung welche ich gerade am lösen bin:

(a)

Bestimme den Typ folgender drei-dimensionaler Quadrik:
29/2*x^2+4/2*xy+26/2*y^2+16*z^2+10x+12y+8z+c=0
in abhängigkeit vom Parameter

c

(b)

Wähle ein

c

so, dass die obige Quadrik nicht entartet ist und führe für diese feste Quadrik die Hauptachsentransformation durch

Aus einem Lehrbuch weiss ich, dass alle (nichtentarteten) Quadriken im

R^{3}

kongruent sind zur Ellipsoide, einschalige bzw. zweischalige Paraboloide Elliptische oder Hyperbolische Paraboloide.

Meine Rechnung zur Aufgabe:

(a)

Habe direkt eine Hauptachsentransformation durchgeführt:

x^{t}

Ax +bx+c=0 mit

A = (\begin{matrix} \frac{29}{2} & 1 & 0 \\ 1 & \frac{26}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{matrix}), b = (10,12,8)

Eigenwerte

λ_{i} = 15,12 . 5,16

Errechne Eigenvektoren ergibt dann mit Spektralsatz und mit Normierung folgende Matrix:

P^{t} = (\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & - \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Somit führe ich die Hauptachsentransformation durch:

X \to P^{t} X'

Dann habe ich:

15 x^{2} + 12.5 y^{2} + 16 z^{2} + \frac{32}{\sqrt{5}} x - \frac{14}{\sqrt{5}} y + 8 z + c = 0

und führe dann letztendlich die Substitution durch:

x_{i} \to x_{i}' - b_{i}

/(2a_ii)
Bedeutet konkret:
Ich erhalte am schluss:

15 x^{2} + \frac{25}{2} y^{2} + 16 z^{3} - \frac{1949}{375} + c = 0

\Rightarrow

Ist ein Elipsoid für

c < \frac{1949}{375}

Ist entartet für

c \geq \frac{1949}{375}

Habe die ganze Sache nachgerechnet, auf Mathematica geplottet und tatsächlich erhalte ich immer ein Elipsoid für

c < \frac{1949}{375} ≅ 5.19

Wenn ich

c

aber

z . B 6

wähle ist das Ellipsoid verschwunden.

Meine Frage nun:
Gibt es auch hier eine Möglichkeit den Typ des Quadrik zu ermitteln, ohne vorher die Hauptachsentransformation durchzuführen?
Ich kann mir kaum vorstellen, dass man die Aufgabe so hätte lösen müssen (zum einen da in Aufgabe

(b)

noch mal explizit eine Hauptachsentransformation gewünscht wird, zum anderen, da die Rechnung sehr komplex und langwierig ist.).
Freue mich auf Antworten. Liebe Grüsse Ventura

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

oculus aktiv_icon

22:29 Uhr, 25.07.2014

Hallo Ventura,

zur Frage am Schluss deines Eintrags:

Ja, man kann die Aufgabe auch bearbeiten, ohne eine Hauptachsentransformation durchzuführen, allerdings ist dein Beispiel dazu wenig geeignet. Es hat mir aber Spaß gemacht, die etwas mühselige Rechnerei durchzuführen.
Die Einteilung der Quadriken in Typen wie Ellipsiode, Hyperboloide, Zylinder, Kegel usw. ist eine Einteilung nach affinen Invarianten. Somit genügt eine affine Transformation, die man durch das Verfahren der quadratischen Ergänzung erhalten kann.

In deinem Bespiel könnte man so vorgehen:

29 \cdot x^{2} + 4 \cdot x \cdot y + 26 y^{2} + 32 \cdot z^{2} + 20 \cdot x + 24 \cdot y + 16 \cdot z + 2 c = 0

29 \cdot x^{2} + 4 \cdot x \cdot y + 26 y^{2} + 32 \cdot (z^{2} +

¼)^2

+ 20 \cdot x + 24 \cdot y + 2 c - 2 = 0

w := z + \frac{1}{4}

29 \cdot x^{2} + 4 \cdot x \cdot y + 26 \cdot y^{2} + 32 \cdot w^{2} + 20 \cdot x + 24 \cdot y + 2 c - 2 = 0

29 \cdot x^{2} + 26 \cdot [{(y + \frac{1}{13} \cdot x)}^{2}

–

\frac{1}{169} \cdot x^{2}] + 32 \cdot w^{2} + 20 \cdot x + 24 \cdot y + 2 c - 2 = 0

u := y + \frac{1}{13} \cdot x

(das ist die wesentliche Tansformation, die das gemeischte xy-Glied eliminiert)

29 \cdot x^{2} + 20 \cdot x + 26 \cdot u^{2}

–

\frac{2}{13} \cdot x^{2} + 32 \cdot w^{2} + 24 \cdot y + 2 c - 2 = 0

und wegen

y = u - \frac{1}{3} \cdot x

29 \cdot x^{2} + 20 \cdot x + 26 \cdot a^{2}

–

\frac{2}{13} \cdot x^{2} + 32 \cdot w^{2} + 24 \cdot (u - \frac{1}{13} \cdot x) + 2 \cdot c - 2 = 0

\frac{375}{13} \cdot x^{2} + \frac{236}{13} \cdot x + 26 \cdot u^{2} + 24 \cdot u + 32 \cdot w^{2} + 2 c - 2 = 0

\frac{375}{13} \cdot [{(x + \frac{118}{375})}^{2}

–

{(\frac{118}{375})}^{2}] + 26 \cdot u^{2} + 24 \cdot u + 32 \cdot w^{2} + 2 c - 2 = 0

v := x + \frac{118}{375}

\frac{375}{13} \cdot v^{2}

–

\frac{13924}{4875} + 26 \cdot u^{2} + 24 \cdot u + 32 \cdot w^{2} + 2 c - 2 \cdot \frac{4875}{4875}

–

\frac{13924}{4875} - 2 \cdot \frac{4875}{4875} = - \frac{23674}{4875}

\frac{375}{13} \cdot v^{2} + 26 \cdot (u^{2} + \frac{12}{13} \cdot u) + 32 \cdot w^{2} + 2 c - \frac{23674}{4875} = 0

\frac{375}{13} \cdot v^{2} + 26 \cdot [{(u + \frac{6}{13})}^{2}

–

\frac{36}{169}] + 32 \cdot w^{2} + 2 c - \frac{23674}{4875} = 0

r := u + \frac{6}{13} = y + \frac{1}{13} \cdot x + \frac{6}{13}

\frac{375}{13} \cdot v^{2} + 26 \cdot r^{2} + 32 \cdot w^{2} - \frac{3898}{375} + 2 c = 0

Die hier erforderliche affine Abbildung wäre demnach

(s

. oben):

(\begin{matrix} v \\ r \\ w \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{13} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{118}{875} \\ \frac{6}{13} \\ \frac{1}{4} \end{matrix})

Der Typ der Quadrik ist demnach ein Ellipsiod, falls

c < \frac{1949}{375}

. Für

c = \frac{1949}{375}

entartet der Ellipsiod zu einem Punkt. Für

c > \frac{1949}{375}

wird die Gleichung falsch mit der leeren Menge als Lösungsmenge.

oculus

Ventura aktiv_icon

11:07 Uhr, 27.07.2014

Hallo vielen Dank für deine Antwort;
Ich weiss zu schätzen, dass du die ganze komplexe Rechnung durchgemacht hast :-)
Das war genau die Art Hilfe die ich gesucht habe: nochmals Vielen Dank und schöne Ferien

Grüsse Ventura

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