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Quadrik in Normalform

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung, Quadrik

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13:46 Uhr, 05.08.2019

Hallo,
Ich habe meine Fragen in 4 Teilfragen gegliedert. Beim Antworten bitte auf auf die Fragen beziehen. Schonmal eine großes Dankeschön vorweg.

Bin gerade dabei mich auf die Mathe Klausur vorzubereiten und bin auf folgendes Problem gestoßen:
In der Aufgabe sollen wir eine gegebene Quadrik

(\vec{x} A \vec{x} + (0,0,14) x + 7 = 0)

In Normalform überführen und die Trafomatrix angeben.
Bis hierhin bin ich gekommen:

\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

\vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 14 \end{matrix})

A = (\begin{matrix} 1 & \sqrt{6} & 0 \\ \sqrt{6} & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix})

Eigenwerte:

λ_{1} = 7, λ_{2} = - 1, λ_{3} = 4

Trafomatrix:

T_{1} = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}} & \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}} & 0 \\ \frac{3}{\sqrt{15}} & - \frac{2}{\sqrt{10}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) T_{2} = (\begin{matrix} 0 & \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}} & \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}} \\ 0 & - \frac{2}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{15}} \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Kann ich hier die Eigenvektoren nach belieben vertauschen oder gibt es hier *eine* richtige Reihenfolge?

\Rightarrow

Frage 1

Normalform:

\vec{q} = λ_{1} \cdot x^{2} + λ_{2} \cdot y^{2} + λ_{3} \cdot z^{2} + b_{3} \cdot z + 7 = 0

Woher weiß ich jetzt welches

λ

vor

x^{2}, y^{2}

oder

z^{2}

kommt?

\Rightarrow

Frage 2

Bsp.:

Q_{1} = 7 x^{2} + 4 y^{2} - z^{2} + 14 z + 7 = 0 \to

Quadratische Ergänzung:

7 \cdot {\bar{x}}^{2} + 4 \cdot {\bar{y}}^{2} - {\bar{z}}^{2} = - 56

Q_{2} = - x^{2} + 4 y^{2} + 7 z^{2} + 14 z + 7 = 0 \to

Quadratische Ergänzung:

- {\bar{x}}^{2} + 4 \cdot {\bar{y}}^{2} + 7 \cdot {\bar{z}}^{2} = 0

Sind jetzt beide Lösungen richtig?

\Rightarrow

Frage 3
Ich gehe mal davon aus, dass die Reihenfolge der Eigenvektoren in der Trafomatrix gleich der Reihenfolge der Eigenwerte in der Normalform sein muss oder ?

\Rightarrow

Frage 4
Aber kann ich ich die Reihenfolge innerhalb meiner Trafomatrix einfach verändern?.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

maxsymca

17:20 Uhr, 05.08.2019

Hm,

Du findest unter

www.geogebra.org/m/pempffkx

eine Zusammenstellung zu Quadriken. Zur Anwendung auf Deine Daten solltest Du GeoGebra 5 auf den Rechner laden - die Online Version GGB 6 hat so ihre Schwächen zum Erstellungszeitpunkt jedenfalls (Versuch macht kluch www.geogebra.org/classic/pempffkx)...

Das Eingabefeld würde

\sqrt{6}

gerundet zur Abwendung bringen, deshalb kannst Du Zelle 5 überschreiben mit

C := {1, 2, 7, 0, 0, 14, (2 \cdot \sqrt{6}), 0, 0, 7}

für eine genaue Rechnung.

Die Reihenfolge der EV ist in soweit beliebig als die Trafomatrix

R

eine Drehung beschreiben muss

\Rightarrow

Det(R)=1. Das Endergebnis unterscheidet sich nur durch die Vorzeichen der Kooeffizienten der Quadrikgleichung. Es sind dann unterschiedliche Drehungen und Zwischen-Positionen denkbar - das Endergebnis kann ab unterschiedlichen Achsen ausgerichtet werden (sagen wir anschaulich waagerecht oder senkrecht).

Da bin ich mit Deinem Ergebnis nicht ganz einverstanden...

z . B

gif3000 aktiv_icon

17:56 Uhr, 05.08.2019

Vielen Dank für die Antwort. Leider kann ich aus deiner Aussage für mein derzeitiges Problem keine ausreichende Lösung erkennen.

Ich soll im Anschluss die Quadrik klassifizieren. Dafür habe ich ein Beiblatt gegeben, mit dem ich durch die Normalform auf das "Aussehen" der Quadrik schließen kann.
Jetzt ist es laut Beiblatt bei

Q_{1}

ein Kegel(doppelseitig) und bei bei

Q_{2}

ein Einschaliges Hyperboloid. (Das sieht man auch wenn man es in GeoGebra eingibt.)
Meine Frage ist jetzt welche der beiden Lösungen richtig ist.
Laut GeoGebra ist die Anfangsform der Quadrik

\vec{x} A \vec{x} + (0,0,14) \vec{x} + 7 = 0

ein Kegel(doppelseitig). Also müsste

Q_{1}

richtig sein . Aber WARUM? Warum kann ich meine Eigenwerte nicht in einer anderen Reihenfolge auf

x^{2}, y^{2}

und

z^{2}

"verteilen"? Das ist das was ich an der Aufgabe nicht verstehe. Wie kann ich in der Klausur wissen, welchen Eigenwert ich vor

x^{2}, y^{2}

und

z^{2}

schreiben soll? Anscheinend ist es nicht egal, da zum Schluss zwei unterschiedliche Quadiriken raus kommen.

Nochmals vielen Dank für die Antwort :-)

pwmeyer aktiv_icon

21:17 Uhr, 05.08.2019

Hallo,

die Eigenwerte und damit die Koeffizienten in der Quadrik korrespondieren mit der Reihenfolge der Eigenvektoren in der Transformationsmatrix. Diese Reihenfolge kannst Du wählen, ohne dass sich am Typ etwas ändert.

Dein Problem ist, wenn ich richtig verfolgt habe, dass Du den linearen Term nicht transformiert hast.

Gruß pwm

gif3000 aktiv_icon

21:37 Uhr, 05.08.2019

Vielen Dank.

Ich halte mich in meiner Berechnung ausschließlich an das Kochrezept aus dem Skript. Dort wird der lineare Teil durch quadratische Ergänzung eleminiert:

... - z^{2} + 7 z = - 7 \to ... . - (z^{2} - 14 + 49) = - 56 \to ...

- {(z - 7)}^{2} = - 56

. Jetzt wird

- {(z - 7)}^{2}

durch

{\bar{z}}^{2}

ersetzt. Ich weiß nicht ob der letzte Schritt mathematisch komplett korrekt ist, allerdings steht das so im Skript.
Jetzt ist nur die Frage welche Lösung richtig ist...
Vielen Dank für die Antworten.

maxsymca

21:42 Uhr, 05.08.2019

Also das die Aufgabe ein Zwischenergebnis

-

in GGB die gelbe Grafik - angibt kann man mal so stehen lassen. Der Fehler ist, das auf die Reihenfolge in

Q_{1}

q_{D} : (7 \cdot x^{2}) + (4 \cdot y^{2}) - z^{2} + (14 \cdot x) = (- 7)

gehört
und zu

Q_{2}

q_{D} : (- x^{2}) + (4 \cdot y^{2}) + (7 \cdot z^{2}) + (14 \cdot z) = (- 7)

gehört.

Das kann man sich mit dem Applet ausrechnen (Zeile

16)

und anzeigen lassen....

Die verlinkte Smartfon-Version arbeitet übrigens auch Online ganz passabel - dauert halt etwas...

pwmeyer aktiv_icon

13:22 Uhr, 06.08.2019

Hallo,

ich versuche es noch einmal: Bei der zweiten transformierten Quadrik muss es

14 \cdot x

heißen und nicht

14 \cdot z

Gruß pwm

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