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Quantil und Wahrscheinlichkeit in Dichtefunktion

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Dichtefunktion

Wing525 aktiv_icon

13:31 Uhr, 15.07.2023

Wir betrachten eine Zufallsvariable

X

mit Dichtefunktion

f (x)

(Siehe angehängtes Bild)

i)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit

P (x \geq - 0,5)

ii) Geben Sie ein 0,75-Quantil von

X

an.

Zu den beiden Aufgaben habe ich ein paar Fragen.

Zu

i) :

Wäre gefragt

P (x \leq - 0,5)

würde ich das Integral von 0 bis 1 von

\frac{1}{2} x^{2} +

das Integral von 1 bis 2 von

1 - \frac{1}{2} x

rechnen. Weil aber

P (x \geq - 0,5)

gefragt hab muss ich das erhaltene Ergebnis von 1 abziehen, oder? Wenn das stimmt, warum ist das so? Mein Verständnis reicht leider nicht aus.

Zu ii):
Ich weiß, dass ich das gesuchte Quantil mit der Verteilungsfunktion, die ich durch Integration erhalte, gleichsetzen muss. Allerdings habe ich noch nicht verstanden, wie ich den entsprechenden Abschnitt finde den ich mit dem Quantil gleichsetzen muss.

Sorry, wenn das sehr dumme Fragen sind. Ich tue mir bei dem Thema leider sehr schwer, aber würde gerne die Hintergründe verstehen.

Vielen Dank schon mal! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

13:54 Uhr, 15.07.2023

a)

Du musst doch nur die Teilflächen addieren unter der Fkt.

von

- 0,5

bis

0,

von 0 bis

1,

von 1 bis

2,

ab 2

Zwischen:

- 0,5

und 0 ist

f (x) = 0,

ebenso ab

x = 2

Die Integrale zu bilden sollte kein Problem sein.

Wing525 aktiv_icon

16:58 Uhr, 15.07.2023

Oh, ja jetzt ist es einleuchtend.
Wie finde ich bei der ii) heraus über welche Bereiche ich integrieren muss?

KL700 aktiv_icon

17:10 Uhr, 15.07.2023

\int_{- 4}^{a} f (x) d x = 0,75

Setze die Summe der Teilintegrale gleich

0,75

und bestimme

a

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17:29 Uhr, 15.07.2023

Hallo,

nochmal zu i):
Bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt allgemein

P (X \geq x) = 1 - P (X < x)

.

Deswegen ist hier

P (X \geq - 0, 5) = 1 - P (X < - 0, 5) = 1 - \int_{- 4}^{- 3} \frac{7}{12} x d x

Den Bereich zwischen

- 3

und

- 0, 5

ist

0

.

Edit(17:39 Uhr): Ich hatte den falschen Teilbereich der Dichtefunktion angegeben. Korrigiert.

Wing525 aktiv_icon

17:42 Uhr, 15.07.2023

Danke @pivot, damit ist die

i)

sehr verständlich.

Zu dem Quantil habe ich allerdings noch eine Frage. Ich komme allgemein nicht drauf, wie ich herausfinde welchen Teilabschnitt ich integrieren und gleichsetzen muss.
Also wenn ich eine Dichtefunktion gegeben habe, wie wähle ich die Teilbereiche aus für die ich durch integrieren die Verteilungsfunktion bestimme und sie dann mit dem Quantil gleichsetze?

pivot aktiv_icon

18:04 Uhr, 15.07.2023

Du gehst prinzipiell sukzessiv vor. Erst das untere Intervall vollständig integrieren:

I_{1} = \int_{- 4}^{- 3} f (x) d x

1.
a) Ist

I_{1}

größer gleich

0, 75

, dann das 0,75-Quantil

x_{0}

berechnen:

\int_{- 4}^{x_{0}} f (x) d x = 0, 75

b) Ist Ist

I_{1}

kleiner als

0, 75

, dann betrachtest du zusätlich das 2. Intervall.

2.
Wenn 1.b), dann auch erst einmal

I_{1} + I_{2} = I_{1} + \int_{0}^{1} f (x) d x = 0, 75

berechnen.
2.a
Ist

I_{1} + I_{2}

größer gleich

0, 75

, dann das 0,75-Quantil

x_{0}

berechnen:

I_{1} + \int_{0}^{x_{0}} f (x) d x = 0, 75

2.b Sonst das Quantil

x_{0}

mit der Gleichung

I_{1} + I_{2} + \int_{1}^{x_{0}} f (x) d x = 0, 75

HAL9000

18:14 Uhr, 15.07.2023

> Ich komme allgemein nicht drauf, wie ich herausfinde welchen Teilabschnitt ich integrieren und gleichsetzen muss.

Taste dich doch einfach vor, indem du die Verteilungsfunktion

F

nach und nach berechnest:

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t

bedeutet insbesondere auch, dass

F (x) = F (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t

für

x \geq x_{0}

gilt. Als

x_{0}

wählt man bei einem intervallweise definierten

f

wie hier dann jeweils die Intervallübergangsstellen. Das bedeutet im einzelnen

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t = \int_{- \infty}^{x} 0 d t = 0

für

x \leq - 4

F (x) = F (- 4) + \int_{- 4}^{x} f (t) d t = 0 + \int_{- 4}^{x} \frac{7}{12} d t = \frac{7}{12} (x + 4)

für

- 4 \leq x \leq - 3

F (x) = F (- 3) + \int_{- 3}^{x} f (t) d t = \frac{7}{12} + \int_{- 3}^{x} 0 d t = \frac{7}{12}

für

- 3 \leq x \leq 0

F (x) = F (0) + \int_{0}^{x} f (t) d t = \frac{7}{12} + \int_{0}^{x} \frac{1}{2} t^{2} d t = \frac{7}{12} + \frac{1}{6} x^{3}

für

0 \leq x \leq 1

F (x) = F (1) + \int_{1}^{x} f (t) d t = \frac{3}{4} + \int_{1}^{x} (1 - \frac{1}{2} t) d t = x - \frac{1}{4} x^{2}

für

1 \leq x \leq 2

F (x) = F (2) + \int_{2}^{x} f (t) d t = 1 + \int_{2}^{x} 0 d t = 1

für

x \geq 2

Oder abschließend zusammengefasst geschrieben:

F (x) = {\begin{array}{ll} 0 & für x \in (- \infty, - 4] \\ \frac{7}{12} (x + 4) & für x \in [- 4, - 3] \\ \frac{7}{12} & für x \in [- 3, 0] \\ \frac{7}{12} + \frac{1}{6} x^{3} & für x \in [0, 1] \\ x - \frac{1}{4} x^{2} & für x \in [1, 2] \\ 1 & für x \in [2, \infty) \end{array}

Und jetzt kann man die geforderten Werte berechnen:

i)

P (X \geq - 0.5) = 1 - F (- 0.5) = \frac{5}{12}

ii) Wer aufmerksam oben die Rechnung verfolgt hat, sieht das Ergebnis sofort: Es ist ja

F (1) = \frac{3}{4}

, und es gibt kein weiteres

x

mit

F (x) = \frac{3}{4}

, daher ist das 0,75-Quantil gleich 1.

P.S.: Tatsächlich ist die gesamte Berechnung der Verteilungsfunktion hier nicht gefordert. Aber ich wollte mal demonstrieren, wie man das bewerkstelligen kann, falls es doch mal bei so einem Typ Aufgabe gefordert ist.

Wing525 aktiv_icon

18:40 Uhr, 15.07.2023

Danke!!!! Jetzt erschließt sich für mich langsam auch was ich da eigentlich mache! Ihr habt mir wirklich sehr geholfen! :-)

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