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Quantile und Wschk. bei diskreten Verteilungen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

Wing525 aktiv_icon

19:16 Uhr, 15.07.2023

Sei X eine diskret verteilte Zufallsvariable mit folgender Verteilung:

P (X = x) = {\begin{array}{ll} 1 / 8, f ü r x {- 2, 3} \\ 1 / 4, f ü r x = 1, \\ 1 / 10, f ü r \ x {- 10, - 7, 0, 5, 99} \end{array}

i) Bestimmen Sie P(X^2<=2)
ii) Geben Sie die Menge der 0,8 Quantile von X an.

Ich würde mich sehr über eine Kontrolle meiner Berechnungen freuen:

i) x^2 darf höchstens 2 sein, dafür kommen nur die Werte 1 und 0 infrage. Also: P(x^2<=1)=1/4+1/10=0,35

ii) Hier bin ich einfach stupide vorgegangen und habe das Quantil über die normale Quantils-Formel berechnet. Und komme so auf 5.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:33 Uhr, 15.07.2023

Hallo,

i) habe ich auch so.

Bei ii) komme ich auf 3. Kann sein, dass ich mich irre. Zeig doch mal was du gemacht hast.

Gruß
pivot

Wing525 aktiv_icon

19:56 Uhr, 15.07.2023

Für das Quantil habe ich alle vorhandenen Werte der Größe nach geordnet:

- 10; - 7; - 2; 0; 1; 3; 5; 99

Und habe dann die Formel angewendet:

x_{q} = X_{(⌊ n \cdot q ⌋) + 1}

für

n \cdot q

ganzzahlig

x_{q} = X_{(⌊ 8 \cdot 0,8 ⌋) + 1} = X_{6 + 1} = X_{7}

Somit

X_{q} = 5

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20:01 Uhr, 15.07.2023

>>Für das Quantil habe ich alle vorhandenen Werte der Größe nach geordnet: -10;-7;-2;0;1;3;5;99 <<

Der Teil gefällt mir sehr gut. Ich habe jetzt, angefangen bei x=-10, solange die Wahrscheinlichenkeiten aufsummiert bis ich auf die W'keit von 0,8 kam. Und da kam ich eben auf

f (- 10) + f (- 7) + \dots + f (3) = F (3) = 0, 8

Roman-22

22:51 Uhr, 15.07.2023

>

habe ich alle vorhandenen Werte der Größe nach geordnet: −10;−7;−2;0;1;3;5;99 Und habe dann die Formel angewendet:
Dabei hast du nicht beachtet, dass du ja keine Stichprobe von genau diesen 8 Zahlen gegeben hast. Du kennst nur die Auftretenswahrscheinlichkeit dieser Zahlen und die ist nicht für alle 8 Zahlen gleich!

Du könntest dir aber zB eine Stichprobe mit

40

Zahlen aufschreiben. Die Zahlen

- 2

und

3,

die ja mit einer Wkt von

\frac{1}{8}

vorkommen sollen, sind daher in dieser Stichprobe je fünfmal vorhanden.
Analog die Zahl 1 genau

10

Mal und die anderen 5 Zahlen je viermal.
Wenn du jetzt diese

40

Zahlen der Größe nach anordnest, dann kannst du deine Formel verwenden.
Siehe Anhang.

Jetzt ist nur die Frage, ob das "

+ 1

" in deiner Formel tatsächlich hier zur Anwendung kommen muss. Ob also

0,8 %

der Werte

<

oder

\leq

als der gesuchte Wert sein sollen.
Je nachdem ergibt sich dann nur 5 oder zusätzlich auch noch 3. Die übliche Definition (siehe nachstehend) lässt beide zu.

Natürlich solltest du es praktisch nicht so ermitteln, sondern direkt mit den Wahrscheinlichkeiten rechnen ähnlich wie pivot das getan hatte.

Nach der üblichen Definition für das p-Quantil

x_{p}

mit

P (X \leq x_{p}) \geq p

und

P (X \geq x_{p}) \geq 1 - p

können sowohl

3,

als auch 5 als 0,8-Quantil bezeichnet werden, denn es gilt sowohl

P (X \leq 3) \geq 0,8

und

P (X \geq 3) \geq 0,2

als auch

P (X \leq 5) \geq 0,8

und

P (X \geq 5) \geq 0,2

Daher auch die zunächst vielleicht irritierende Frage nach der "Menge" der 0,8-Qantilen. Es ist die zweielementige Menge

{3; 5}

Wing525 aktiv_icon

08:41 Uhr, 16.07.2023

Ok, jetzt macht das mit der Menge auch Sinn! Vielen Dank!

Wing525 aktiv_icon

08:42 Uhr, 16.07.2023

Ok, jetzt macht das mit der Menge auch Sinn! Vielen Dank!

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