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Quantilwert der Standardnormalverteilung

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

 
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ReBe77

ReBe77 aktiv_icon

12:15 Uhr, 21.06.2018

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Ich soll für das Quantil α=0,05 also 5% den Wert der Standartnormalverteilung ausrechnen. Alle Formeln die ich gefunden habe verwirren mich.

LG Robert

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

20:43 Uhr, 21.06.2018

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Hallo,

also Du suchst das 0.05-Quantil der Standardnormalverteilung?
Wir nennen mal ein α-Quantil der Verteilung qα, α∈(0,1). Es ist eine grundlegende Eigenschaft dieser Verteilung, dass leider "fast alle" Quantile nicht durch eine explizite Formel angegeben werden können, außer q1/2=0. Deshalb gibt es in Tafelwerken diese Tabellen, in denen man die Quantile (gerundet) ablesen kann. In Deinem Fall wäre das
q0.05≈-1.644854.

Gruß Mauthagoras
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pivot

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20:51 Uhr, 21.06.2018

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Hallo,

du musst den Wert für die standardnormalverteilte Zufallsvariable finden bei der gilt

P(Z≤z)=0,05 bzw. Φ(z)=0,05. Dabei ist Φ(z) die Funktion der Standardnormalverteilung.

Mathematisch löst man jetzt die Gleichung nach z auf. Das macht man indem man die Umkehrfunktion bilden.

z=Φ-1(0,05)

Jetzt sucht man denjenigen z-Wert bei dem die Funktion den Wert 0,05 annimmt. Dazu kann man die enstsprechende Tablelle verwenden:

de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

Jetzt sind die Werte erst ab p=0,5 aufgeführt. Man kann sich aber die Symmetrie der Standardnormlverteilung zu nutze machen. Dabei gilt.

1-p=Φ(-z)(*)

1-p=0,95. Der Wert p=0.95 ist liegt ziemlich genau zwischen Φ(1,64)=0,94950 und Φ(1,65)=0,95053. Also kann man sagen, dass Φ-1(0,95)=1,645

Jetzt schaut man noch mal auf die Gleichung (*). Wir haben jetzt herausgefunden, dass
0,95=Φ(1,645)(*)

Somit ist Φ(-1,645)=1-0,95=0,05 und damit z=-1,645

Gruß

pivot
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