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Quantorenregel beweisen

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Tags: Logikaufgabe

karl3333 aktiv_icon

17:25 Uhr, 24.11.2018

Weiß nicht wie ich das beweisen soll

IMG_24112018_171656_10_x_15_Querformat_(152.4_x_101.6_mm)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

11:17 Uhr, 26.11.2018

Hallo,
ich weiß nicht, welche Regeln ihr benutzen könnt, aber ich versuche es mal so:
zunächst trenne ich die Variablennamen, dann heißt die Behauptung:

(\forall x : (p (x) \to q (x))) \Rightarrow ((\forall y : p (y)) \to (\forall z : q (z)))

.
1. Ist die Prämisse von "

\Rightarrow

" falsch, so ist die Implikation wahr.
2. Nun sei die Konklusion von "

\Rightarrow

" falsch, d.h. es gelte

(\forall y : p (y)) \land (\exists z : \neg q (z))

, dann folgt insbesondere

\exists z : (p (z) \land \neg q (z)) \equiv

\exists z : \neg (\neg p (z) \lor q (z)) \equiv

\exists z : \neg (p (z) \to q (z))

. Daraus folgt:

\neg (\forall x : (p (x) \to q (x)))

.
Ist also die Prämisse von "

\Rightarrow

" wahr, so auch die Konklusion.
3. Damit ist "

\Rightarrow

" insgesamt eine wahre Implikation.
Gruß ermanus

karl3333 aktiv_icon

11:31 Uhr, 26.11.2018

Hmmm verstehe das leider nicht richtig ....und raus soll doch was anderes kommen oder das vx

: p (x) \to

vx:q(x) oder ?

ermanus aktiv_icon

11:42 Uhr, 26.11.2018

Welches

x

\forall x : p (x) \to \forall x : q (x)

gehört denn zu welchem Quantor? Ist das

x

q (x)

noch durch den ersten Allquantor gebunden oder
erst durch den zweiten?
Ist mit

\forall x : p (x) \to \forall x : q (x)

das gemeint:

(\forall x : p (x)) \to (\forall x : q (x))

oder das:

\forall x : (p (x) \to (\forall x : q (x)))

und ist dann das

x

q (x)

das gleiche wie das

x

p (x)

???
Welche Junktoren/Quantoren binden denn stärker "

\to

" oder "

\forall

karl3333 aktiv_icon

11:55 Uhr, 26.11.2018

Hier die Regel

Q (15)

IMG_26112018_115244_10_x_15_Querformat_(152.4_x_101.6_mm)

ermanus aktiv_icon

11:58 Uhr, 26.11.2018

Ja, so ist es. Und die soll nun bewiesen werden, oder?

karl3333 aktiv_icon

11:58 Uhr, 26.11.2018

Kann man es nicht mit Auflösung von

\to

und der Anwendung der def. Von vx

: p (x)

machen ?

karl3333 aktiv_icon

12:00 Uhr, 26.11.2018

Ja genau

ermanus aktiv_icon

12:04 Uhr, 26.11.2018

Das müsste man hinkriegen. Ich bin nur nicht davon ausgegangen, dass ihr
die Quantoren so verwenden dürft, als ob die Mengen endlich wären.
Das ist ja auch ein bisschen fragwürdig ;-)
Daher bin ich einen anderen Weg gegangen, indem ich gezeigt habe,
dass "

\Rightarrow

" in dieser zu beweisenden Formel als Wahrheitsverlauf
wirklich den einer Implikation hat.

karl3333 aktiv_icon

12:09 Uhr, 26.11.2018

Okay also erst das

\to

anwenden und dann die Definition von vx

: p (x)

ermanus aktiv_icon

12:23 Uhr, 26.11.2018

Also, um es so zu machen, wie du dir überlegt hast, müsste man
zeigen, dass

(((p (x_{1}) \to q (x_{1})) \land \dots \land (p (x_{n}) \to q (x_{n}))) \to

((p (x_{1}) \land \dots \land p (x_{n})) \to (q (x_{1}) \land \dots q (x_{n})))

eine Tautologie ist. Willst du dir dies wirklich antun?
Du müsstest jetzt ja als Nächstes die "

\to

" ersetzen durch "

\neg . . . \lor . . .

".
Ehrlich gesagt ist mir das zu mühsam :(
Du kannst es natürlich gern versuchen so hinzubekommen.
Aber ich steige bei dieser Sklavenarbeit aus ...

karl3333 aktiv_icon

12:26 Uhr, 26.11.2018

Hmmm geht es dann einfacher ?

ermanus aktiv_icon

12:33 Uhr, 26.11.2018

Ja, um 11:17 Uhr habe ich dir eine vollständige Lösung geschickt,
die vergleichsweise übersichtlich ist.
Was du daran nicht verstehst, kannst du mich ja im Einzelnen fragen.

karl3333 aktiv_icon

12:52 Uhr, 26.11.2018

Würde das gehen ?

IMG_26112018_125034_10_x_15_Querformat_(152.4_x_101.6_mm)

ermanus aktiv_icon

13:29 Uhr, 26.11.2018

Deine Umformung

(\neg p (x_{1}) \lor q (x_{1})) \land \dots \land (\neg p (x_{n}) \lor q (x_{n})) \overset{}{\Leftrightarrow}

(\neg p (x_{1}) \land \dots \land \neg p (x_{n})) \lor (q (x_{1}) \land \dots \land q (x_{n}))

ist leider nicht korrekt.
Sei

n = 2

und folgende Belegung gegeben:

p (x_{1}) = q (x_{1}) = w p (x_{2}) = q (x_{2}) = f

.
Dann bekommen wir:

(\neg p (x_{1}) \lor q (x_{1})) \land (\neg p (x_{2}) \lor q (x_{2})) =

(f \lor w) \land (w \lor f) = w \land w = w

.
Aber wir haben:

(\neg p (x_{1}) \land \neg p (x_{2})) \lor (q (x_{1}) \land q (x_{2})) =

(f \land w) \lor (w \land f) = f \lor f = f

.

Eine Bitte: bitte deutlicher schreiben. Ich gebe mnir ja hier auch viel Mühe !

karl3333 aktiv_icon

13:33 Uhr, 26.11.2018

Ist das nicht einfach das distriputivgesetzt für

n

variablen?

ermanus aktiv_icon

13:34 Uhr, 26.11.2018

Ein solches Gesetz kenne ich nicht ...
Und wie du an meinem Beispiel siehst, kann es das in dieser Form
auch gar nicht geben.

karl3333 aktiv_icon

13:36 Uhr, 26.11.2018

Hmmmm okay verstehe ich

ermanus aktiv_icon

13:39 Uhr, 26.11.2018

Beispiel aus dem Reich der Zahlen, das dem ähnlich ist:

(a + b) \cdot (c + d) \neq (a \cdot c) + (b \cdot d)

;-)

Oder, wie schon der Lehrer sagte:
"jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer".

karl3333 aktiv_icon

14:39 Uhr, 26.11.2018

Ja aber wenn die Regel stimmt wovon ich ausgehe müsste das ja irgendwie so sein oder ?

ermanus aktiv_icon

14:43 Uhr, 26.11.2018

Also das kann man wohl nicht so annehmen;
denn die linke und rechte Seite sollen ja nicht
äquivalent sein, sondern es soll nur die rechte Seite aus der linken folgen.
Die rechte Seite ist viel "informationsärmer" als die linke.

karl3333 aktiv_icon

15:09 Uhr, 26.11.2018

Hmmmm okay

ermanus aktiv_icon

15:15 Uhr, 26.11.2018

Ja, die zu beweisende Regel stimmt natürlich.
Ich habe sie ja auch bewiesen ;-)

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