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Quasi Physikaufgabe
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration
 
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Hallo liebe Mathefreunde, im Anhang findet ihr das Bild zu einer Aufgabe, die ich nicht ganz verstehe. Ich bin in Mathe relativ gut, aber die Phyik macht mir gerade einen Strich durch die rechnung. Die aufgabe lautet: Eine mit Wasser gefüllte Halbkugel wird vollständig in einen See entleert. Berechnen Sie mit Hilfe der Integralrechnung die Arbeit, die das Wasser hierbei vollbringt. Fertigen Sie dazu zuerst eine Skizze mit dem gewählten Koordinatensystem, dem Volumenelement und allen Bezeichnungen an. Wenn ich das richtig verstehe geht es hier eher um eine Aufgabe aus dem Bereich "Physik": Wie soll ich jetzt "mit Hilfe der Integralrechnung die Arbeit, die das Wasser hierbei vollbringt" berechnen? ich bin dankbar für jeden Tipp! Vielen Dank und herzliche Grüße, Hawaiihemdtraeger  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Gemeint ist, welche potentielle Energie das Wasser beim Sturz abgibt. Dazu kannst du dir alles Wasser in seinem Schwerpunkt vereinigt denken und so tun, als fiele jeder Wassertropfen aus der Position des Schwerpunktes bis auf die Gewässeroberfläche. Für die Berechnung des Schwerpunktes einer Halbkugel kannst du Symmetrien ausnutzen und die Guldin-Regel verwenden. Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich der erzeugenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes. Nimm als Fläche einen Halbkreis, der erzeugt bei einer vollen Drehung eine ganze Kugel. Also gilt und damit . So weit unter dem Mittelpunkt der Halbkugel liegt der Schwerpunkt. Der Anteil der Integralrechnung liegt hierbei allerdings im Beweis der Guldin-Regel. Mit Volumenelementen musst du in dünnen, waagerecht liegenden Zylinderscheiben rechnen und diese in Richtung aufaddieren. Diese Scheiben bestehen aus allen Wasserteilchen, die von der Seeoberfläche gleich weit entfernt sind, also gleich tief fallen. |
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