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Quasikompakt, Topologie

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Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Fabienne- aktiv_icon

22:27 Uhr, 02.05.2016

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei (X,\tau) ein topologischer Raum.
Zeigen Sie:

a) Sind

A, B \subseteq X

quasi-kompakt, so ist auch

A \cup B

quasi-kompakt.

b) Ist

A \subseteq X

quasi-kompakt und

B \subset X

abgeschlossen, so ist

A \cap B

quasi-kompakt.

Beweis zu a):

Seien

A, B \subseteq X

quasi-kompakte Mengen. Dann hat jede offene Überdeckung von

A

und

B

eine endliche, offene Teilüberdeckung.
Seien also

⋃_{i = 1}^{n} A_{i} \supseteq A

und

⋃_{i = 1}^{m} B_{i} \supseteq B

endliche, offene Teilüberdeckung, mit

A_{k}, B_{j} \subseteq X

für

k \in 1, . . ., n

und

j \in {1, . . ., m}

Dann ist

A \cup B \subseteq ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} \cup ⋃_{i = 1}^{m} B_{i}

offene endliche Teilüberdeckung. Also ist

A \cup B

quasi-kompakt.

Eigentlich bezweifel ich, dass es korrekt ist, da es viel zu einfach wäre, aber ich wüsste auch nicht, warum es falsch sein sollte.
Habe ich irgendetwas falsch verstanden?
Meint man, wenn man etwa eine offene Überdeckung von

A

angibt, dass dies auf der Teilraumtopologie

τ_{A}

passiert?

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

22:45 Uhr, 02.05.2016

Du beginnst von der falschen Seite.
Du musst mit einer beliebigen Überdeckung von

A \cup B

anfangen.

Fabienne- aktiv_icon

22:48 Uhr, 02.05.2016

Danke, ich probiere es erneut.

Fabienne- aktiv_icon

22:56 Uhr, 02.05.2016

Ich habe es nun so probiert:

Sei

U

eine Überdeckung von

A \cup B

. Also

A \cup B \subseteq U

.
Dann gilt auch

A \subseteq U

und

B \subseteq U

.
Da

A, B

quasi-kompakt enthält

U

offene, endliche Teilüberdeckungen

V_{A}, V_{B} \subseteq U

mit

A \subseteq V_{A}

und

B \subseteq V_{B}

.

Dann ist

V_{A} \cup V_{B} \supseteq A \cup B

eine offene, endliche Teilüberdeckung und somit

A \cup B

quasi-kompakt.

DrBoogie aktiv_icon

09:56 Uhr, 03.05.2016

Jetzt richtig

Fabienne- aktiv_icon

10:14 Uhr, 03.05.2016

Das ist schön.
Könntest du noch etwas dazu sagen, ob man auf Teilmengen eines topologischen Raumes immer die Teilraumtopologie betrachtet?

zu b)

Wenn

A

quasi-kompakt ist und

A \cap B \subseteq A

gilt, warum kann man dann nicht einfach folgern, dass dies auch quasi-kompakt ist. Immerhin kann ich ja eigentlich die selbe offene, endliche Teilüberdeckung für

A \cap B

benutzen, aber dies sollte kein Beweis sein, doch warum?

Einen "echten" Beweis versuche ich mir nun zu überlegen.

DrBoogie aktiv_icon

10:53 Uhr, 03.05.2016

"Könntest du noch etwas dazu sagen, ob man auf Teilmengen eines topologischen Raumes immer die Teilraumtopologie betrachtet?"

Immer vermutlich nicht, aber das ist zumindest eine logische Wahl.

"Wenn A quasi-kompakt ist und A∩B⊆A gilt, warum kann man dann nicht einfach folgern, dass dies auch quasi-kompakt ist."

Na weil z.B.

A = [0, 1]

quasi-kompakt ist in der gewöhnlichen Topologie auf

ℝ

, aber

B = (0, 1)

nicht, obwohl es eine Teilmenge von

A

ist.

"Einen "echten" Beweis versuche ich mir nun zu überlegen."

Nutze, dass

B^{c}

(Komplement) offen ist.

Fabienne- aktiv_icon

10:57 Uhr, 03.05.2016

Danke für das Beispiel.

Ja, das

B^{c}

offen ist, versuche ich schon die ganze Zeit zu benutzen, aber es gelingt mir nicht.

Wenn ich diese Menge mit in die endliche, offene Teilüberdeckung von

A

(A ist ja quasi-kompakt) hinzufüge, ändert sich nichts.

DrBoogie aktiv_icon

11:04 Uhr, 03.05.2016

Wenn

\cup_{i} V_{i}

eine Überdeckung von

A \cap B

ist, dann ist

B^{c} \cup \cup_{i} U_{i}

eine Überdeckung von

A

. Es gibt eine endliche Teilüberdeckung, da

A

quasi-kompakt. Also

B^{c} \cup U_{i_{1}} \cup . . . \cup U_{i_{n}}

überdeckt

A

. Dann muss

U_{i_{1}} \cup . . . \cup U_{i_{n}}

zwangsläufig

A \cap B

überdecken, denn sonst gebe es einen Punkt, der gleichzeitig in

A \cap B

und

B^{c}

liegen würde, was nicht möglich ist.

Fabienne- aktiv_icon

11:07 Uhr, 03.05.2016

Ok.

Vielen Dank.

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