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Quasiordnung und Äquivalenzrelationen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

wild21 aktiv_icon

15:04 Uhr, 31.01.2012

Sei

(M, \leq)

eine Quasiordnung und

\leq \cap \leq^{- 1}

eine Äquivalenzrelation auf M.
Sei

\leq

auch antisymmetrisch.
Bestimmen Sie

\leq \cap \leq^{- 1}

.

Durch die antisymmetrie von

\leq

folgt, dass für alle

x, y \in M

gilt

x = y

.
Somit haben wir im Schnitt sind Tupel,die alle die gleichen Elemente haben...
Stimmt das und wie schreibe ich das richtig auf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

16:55 Uhr, 31.01.2012

Behauptung:

\leq \cap \leq^{- 1} = {(x, x) | x \in M}

Beweis:
1.

\leq \cap \leq^{- 1} \subseteq {(x, x) | x \in M}

Sei

(x, y) \in M \times M

ein Element mit

(x, y) \in \leq \cap \leq^{- 1}

.
Das bedeutet

x \leq y

und

y \leq x

.
Da

\leq

antisymmetrisch ist, folgt hieraus

y = x,

mithin

(x, y) = (x, x) \in {(x, x) | x \in M}

.
2.

{(x, x) | x \in M} \subseteq \leq \cap \leq^{- 1}

Nach Voraussetzung ist

\leq \cap \leq^{- 1}

Äquivalenzrelation, insbesondere reflexiv und enthält daher alle Paare der Form

(x, x)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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