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Quaternionen pq Beweisen aber wie?

Universität / Fachhochschule

Tags: Quaternion

Schok aktiv_icon

20:49 Uhr, 26.07.2018

Hallo,

ich soll die Formel:

p \cdot q =

(p0*q0−p*q,

p 0 q + q 0 p +

pxq)

wobei

p 0

und

q 0

Skalare sind und

p, q

Vektoren! Deswegen ist

p \cdot q \to

Skalarprodukt und pxq

\to

Kreuzprodukt aus der linearen Algebra!

Weiß jemand wie man diese Formel anhand den Definitionen aus den Quaternionen beweist?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

21:57 Uhr, 26.07.2018

Hallo
irgendwas ist faul an dem, was du schreibst-

p \cdot q

Skalarprodukt also sollte ein Skalar rauskommen, dahinter steht etwas, durch Komma getrennt, was offensichtlich 2 Vektoren sind? da ein Krezprodukt vorkommt geht es offensichtlich um Vektoren aus

ℝ^{3}

und was hat das ganze mit Quaternionen zu tun?
Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

23:13 Uhr, 26.07.2018

Hallo,

ich gebe ledum vollkommen Recht, wenn sie dies Formelchaos bemängelt.
Ich will mal versuchen, einen vermuteten Sinn in das Ganze zu bringen.
Es seien

p, q \in ℝ \times ℝ^{3}

gegeben.
Bzgl der Komponenten sei

p = (p_{0}, \tilde{p})

und

q = (q_{0}, \tilde{q})

.
Man interpretiere nun

p

und

q

als Quaternionen,
indem man

p_{0}

und

q_{0}

als deren Realteil und

\tilde{p}

und

\tilde{q}

als deren "reinen Quaternionenanteil"

\tilde{p} = p_{1} i + p_{2} j + p_{3} k

und

\tilde{q} = q_{1} i + q_{2} j + q_{3} k

interpretiert.

p \cdot q

wäre dann das Produkt innerhalb der Quaternionenalgebra:

p \cdot q = (p_{0} + p_{1} i + p_{2} j + p_{3} k) \cdot (q_{0} + q_{1} i + q_{2} j + q_{3} k)

.
Dies multipliziere mal fleißig aus ...
Das Ergebnis sollte dann "zurückinterpretiert" so aussehen:

(q_{0} p_{0} - \tilde{p} * \tilde{q}, p_{0} \tilde{q} + q_{0} \tilde{p} + \tilde{p} \times \tilde{q})

,
wobei

*

das Skalarprodukt im

ℝ^{3}

bedeute..

Vielleicht ist das ja so gemeint?

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

14:12 Uhr, 27.07.2018

Hier noch eine etwas andere Interpretation der Buchstaben, die davon ausgeht,
dass die linke Seite

p \cdot q

nicht korrekt wiedergegeben ist:
Seien

(p_{0}, p), (q_{0}, q) \in ℝ \times ℝ^{3} .

Dann soll gelten:

(p_{0}, p) \cdot (q_{0}, q) = (p_{0} q_{0} - p * q, p_{0} q + q_{0} p + p \times q)

,
hier wird

(p_{0}, p)

als Quaternion

p_{0} + p_{1} i + p_{2} j + p_{3} k

verstanden, entsprechend für

(q_{0}, q)

.
Die Multiplikation auf der linken Seite ist das Produkt in der Quaternionenalgebra.
Nun stimmt die rechte Seite buchstabenmäßig mit deiner rechten Seite
überein, aber die linke Seite sieht anders aus.
Es wäre schön, wenn du dich dazu äußern würdest ...

Der Zusammenhang mit der Vektorrechnung im

ℝ^{3}

und dem Verhalten
des "imaginären" Quaternionenanteils ist eine "alte Sache", deren
Geschichte man z.B. bei
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/vektorhistorie.html
nachlesen kann.

Schok aktiv_icon

20:08 Uhr, 31.07.2018

ich denke so wie du es geschrieben hast die erste Erklärung sollte das sein weiß ich meine.

Ein

q

wäre jetzt

z

. B.

(1,3,4,1) q 0 = 1 q = 3,4,1

also

i, j, k < -

Imaginärer Teil. Dachte das wäre so üblich das man es so kennt sry! Hoffe jetzt wird es etwas klarer.

Wie bekomme ich jetzt so etwas bewiesen? also so eine Multilplikationsformel?

LG

ermanus aktiv_icon

21:38 Uhr, 31.07.2018

OK.
Dann wollen wir die beiden Quaternionen mal mit einander multiplizieren.
Es gelten die üblichen Distributivitätsgesetze und die Regeln

i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = - 1

und

i \cdot j = k, j \cdot k = i, k \cdot i = j

,
sowie

j \cdot i = - k, k \cdot j = - i, i \cdot k = - j

p \cdot q = (p_{0} + p_{1} i + p_{2} j + p_{3} k) \cdot (q_{0} + q_{1} i + q_{2} j + q_{3} k) =

= p_{0} q_{0} + p_{0} q_{1} i + p_{0} q_{2} j + p_{0} q_{3} k +

+ p_{1} i q_{0} + p_{1} i q_{1} i + p_{1} i q_{2} j + p_{1} i q_{3} k +

+ p_{2} j q_{0} + p_{2} j q_{1} i + p_{2} j q_{2} j + p_{2} j q_{3} k +

+ p_{3} k q_{0} + p_{3} k q_{1} i + p_{3} k q_{2} j + p_{3} k q_{3} k =

= p_{0} q_{0} + p_{1} q_{1} i i + p_{2} q_{2} j j + p_{3} q_{3} k k +

+ p_{0} q_{1} i + p_{0} q_{2} j + p_{0} q_{3} k +

+ q_{0} p_{1} i + q_{0} p_{2} j + q_{0} p_{3} k +

+ p_{1} q_{2} i j + p_{2} q_{1} j i +

+ p_{1} q_{3} i k + p_{3} q_{1} k i +

+ p_{2} q_{3} j k + p_{3} q_{2} k j =

= p_{0} q_{0} - p_{1} q_{1} - p_{2} q_{2} - p_{3} q_{3} +

+ p_{0} (q_{1} i + q_{2} j + q_{3} k) + q_{0} (p_{1} i + p_{2} j + p_{3} k) +

+ (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}) i + (p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}) j + (p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) k

.

Der "Realteil" ist also

p_{0} q_{0} - (p_{1}, p_{2}, p_{3}) * (q_{1}, q_{2}, q_{3})

.
Der "Imaginärteil" ist

p_{0} (q_{1}, q_{2}, q_{3}) + q_{0} (p_{1}, p_{2}, p_{3}) +

+ (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}, p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}, p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) =

= p_{0} (q_{1}, q_{2}, q_{3}) + q_{0} (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + (p_{1}, p_{2}, p_{3}) \times (q_{1}, q_{2}, q_{3})

.

Gruß ermanus

P.S.: kleine Frage: warum hast du das nicht selbst ausgerechnet ???
Das ist doch keine Zauberei ...

Schok aktiv_icon

00:31 Uhr, 01.08.2018

grrr... das werde ich tun!
Hab das nur überflogen dein geschriebenes denn meine Frage war ja WIE man es Beweist. Wusste nicht das man es "einfach" nur stumpf ausmultiplizieren muss. Dachte da gäbe es einen Trick.

Hab da ab noch mehr was wir Beweisen sollen wo ich auf dem Schlauch stehe.
Rechnen Sie nach, dass für die Konjugation von Quaternionen gilt

\bar{p + q} = \bar{p} + \bar{q},

\bar{λ q} = λ \bar{q}

\bar{p q} = \bar{q} \bar{p}

Bei solch einer Aufgabe hab ich nicht mal eine Idee wie ich anfangen muss

: - (

Nochmals vielen vielen Lieben Dank für eure Netten und immer Hilfreichen Antworten :-)
Ich hoffe das ich später auch mal anderen so sehr Helfen kann :-) "das wäre ein Traum :-)"

ermanus aktiv_icon

10:25 Uhr, 01.08.2018

Hallo,

ich nehme an, dass unter Konjugation folgendes verstanden wird:

sei

p = p_{0} + p_{1} i + p_{2} j + p_{3} k

, dann ist

\overline{p} := p_{0} - p_{1} i - p_{2} j - p_{3} k

.
Also musst du nur die linken und rechten Seiten ausrechnen und beide
dann vergleichen.

Wahrscheinlich soll die letzte Gleichung

\overline{p \cdot q} = \overline{q} \cdot \overline{p}

heißen ?
Man kann das im Firefox schlecht erkennen.

Bin nun länger aus dem Haus ...

Gruß ermanus

ledum aktiv_icon

12:27 Uhr, 01.08.2018

Hallo
rechnen Sie nach heisst einfach stur rechnen! ohne jeden "Trick"
Gruß ledum

Schok aktiv_icon

10:54 Uhr, 10.08.2018

Also das heißt ich Konjugierte die Quaternion mit

q + p

und rechne dann die Summe aus bis ich auf das Konjugierte

p +

Konjugierte

q

komme stimmts?

Werde das nachher mal versuchen wenn ich nicht weiter komme melde ich mich nochmal hier :-)

LG

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