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Quersummenregel in Stellenwertsystemen
Universität / Fachhochschule
Teilbarkeit
Tags: Quersummenregel, Stellenwertsystem, Teilbarkeit
 
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Hi Leute! Ich soll Quersummenregeln für verschiedene Basen Aufstellen. Gibt es ein Verfahren mit dem man alle Teilbarkeitsregeln herausbekommen kann? Im 8er-System wäre das ja zum Beispiel: und im 8er-System) Der Beweis mit Hilfe der Endstellenregel ist mir bereits gelungen. Aber wie komme ich auf und ohne alle durchzuprobieren... und warum ist . nicht die 5 möglich. Vielen Dank im Voraus LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, verstehe ich richtig, dass es erst einmal um die Teilbarkeitsregeln im Oktalsystem geht? Speziell sollen Regeln gefunden werden, die schnell entscheiden lassen, ob eine Zahl im Oktalsystem durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, und teilbar ist, korrekt? Ich verstehe in diesem Zusammenhang nicht, > warum ist z.B. nicht die 5 möglich. Natürlich gibt es eine Teilbarkeitsregel für den Modul 5 im Oktalsystem. Insbesondere kann man die Frage > Gibt es ein Verfahren mit dem man alle Teilbarkeitsregeln herausbekommen kann? einfach bejahen. Die Teilbarkeitsregel für den Modul ist einfach die alternierende Quersumme, d.h. man addiert und subtrahiert im Wechsel die Ziffern (egal von welcher Seite begonnen wird). Ist die so gebildete alternierende Quersumme durch teilbar, so auch die Ausgangszahl. Da 3 ein Teiler von ist, gilt: Ist die alternierende Quersumme durh 3 teilbar, so auch die Ausgangszahl selbst. 7 ist um Eins kleines als , sodass hier die Quersummenregel greift (analog zur Teilbarkeitsregel zum Modul 9 im Dezimalsystem). Beim Modul 5 haben wir ein bisschen Arbeit vor uns. Dabei erklärt sich auch allgemein, wie man JEDE Regel ableiten kann. Da wir im Oktalsystem arbeiten, benennen wir mal die Stellen des Oktalsystems: E Einer () A Achter () V 64er () F 512er () Vt 4096er () Mehr werden wir für die Teilbarkeitsregel für den Modul 5 nicht benötigen! Ok, egal welche Zahl im Oktalsystem man vorgegeben hat (solange sie ganzzahlig und größer Null ist), man geht beim Ermitteln der Teilbarkeit durch 5 ziffernweise vor und teilt mit Rest. So ergibt ein Einer beim Teilen durch 5 0 und vor allem einen als Rest. Wenn ich 3 Einer habe, dann habe ich eben 3mal einen als Rest. Die Reste werden immer wieder addiert. Ist die Anzahl der Reste durch 5 teilbar, so war es auch die Ausgangszahl. Nehme ich mir einen Achter her, so bleiben als Rest 3 (oder -2, was dir lieber ist). Nehmen wir einen 64er her, so erkennen wir, dass es 8 Achter sind, die also als Rest lassen. Das lässt sich aber kleiner angeben: oder , demnach liefert ein V als Rest 4 (oder -1, wenn dir das lieber ist). Als nächstes kommt die F-Stelle dran. Ein F entspricht 8 V, d.h. es bleiben . Danach ermittelt man auf die gleiche Weise, dass der Rest für ein F wieder 1 ist (), womit man erkennt, dass sie die Reste von hier ab wiederholen. In der folgenden Zeile sind also die Reste aufgeführt: Vt F V A E 1 2 4 3 1 Wie rechnet man damit? Wir nehmen uns mal die Zahl vor und fragen uns, ob sie durch 5 (ohne Rest) teilbar ist: Vt F V A E 1 2 4 3 1 x x x x x 0 5 3 1 5 ---------- und damit ist restlos durch 5 teilbar. Etwas einfacher würde man natürlich sagen, dass die 5er Ziffern natürlich nicht betrachtet werden müssen, da 5 eben durch 5 teilbar ist. Zudem könnte man bei Verwendung negativer Reste (s.o.) auf folgendes Schema kommen: Vt F V A E 1 2 -1 -2 1 x x x x x 0 5 3 1 5 ---------- und damit ist restlos durch 5 teilbar. Ich nenne diese "Variante" der Quersumme gewichtet. Jede Ziffer muss mit einem geeigneten Gewicht multipliziert werden, die Gewichte werden addiert. Ist die gewichtete Quersumme restlos teilbar, so auch die Ausgangszahl. Sonst nicht. Ist klar geworden, wie man das macht? Spätesten nach so vielen Stellen wie der Modul groß ist, muss eine Wiederholung auftreten bei den Gewichten. Denn: Ist der Modul in eine Einheit, so muss eine seiner Potenzen irgendwann wieder 1 ergeben. Man macht sich leicht klar, dass es um die Ordnung des Moduls in geht. Wenn der Modul keine Einheit ist, dann muss er ein Nullteiler sein, d.h. als Gewicht kommt irgendwann die Null vor. Von da an sind alle Gewichte natürlich Null. Hoffe, ich konnte dir helfen. Mfg Michael |
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