Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Quotient ungerader Zahlen

Quotient ungerader Zahlen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Binomialkoeffizient, Quotient, ungerade Zahl

Gammler aktiv_icon

22:37 Uhr, 19.09.2012

Hallo,

Ich möchte gerne beweisen, dass

(\begin{matrix} 2^{n} - 1 \\ k \end{matrix})

für alle

0 \leq k \leq 2^{n} - 1

ungerade ist.

Ich habe nun rumgerechnet, indem ich den Binomialkoeffizient auseinander genommen habe und alles in einem Produkt einzelner Brüche geschrieben habe.

Also:

\frac{2^{n} - 1}{1} \cdot \frac{2^{n} - 2}{2} \cdot \frac{2^{n} - 3}{3} \cdot . .

\cdot \frac{2^{n} - k}{k}

Dann habe ich wo möglich die Brüche gekürzt, und habe letztlich ein Produkt von Brüchen mit ausschließlich ungeraden Zählern und Nennern.

Aber wie kann ich zeigen, dass dieses Produkt, was ja letztlich erstmal ein Quotient ist, ebenfalls ungerade ist?

Kann man so argumentieren, dass der Quotient eine ganzzahlige Zahl sein muss, da auch der eigentlich Binomialkoeffizient ganzzahlig ist?
Und dass, falls ein Quotient zweier ungerader Zahlen eine ganzzahlige Lösung hat, diese Lösung ebenfalls ungerade ist?

Bitte um Hilfe!

Liebe Grüße
vom Gammler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

prodomo aktiv_icon

06:34 Uhr, 20.09.2012

Ja, kannst du. Nur ein Produkt zweier ungerader Zahlen ist auch ungerade, das lääst sich umkehren.

Bummerang

12:15 Uhr, 20.09.2012

Hallo,

deine argumentation müßte in etwa so laufen, dass in jedem

k

der Faktor

2^{m}

steckt und

m

ist maximal gewählt,

d . h

\frac{k}{2^{m}}

ist eine ganze Zahl und

\frac{k}{2^{m + 1}}

ist keine ganze Zahl mehr. Dann kannst Du mit

k_{0} := 2^{m}

jeden Faktor (Bruch) schreiben als

\frac{2^{n} - k}{k} = \frac{2^{n} - 2^{m} \cdot k_{0}}{2^{m} \cdot k_{0}} = \frac{2^{n - m} - k_{0}}{k_{0}}

Wegen der Wahl von

m

ist

k_{0}

eine ungerade Zahl und somit die Differenz im Zähler auch ungerade. Alle Brüche bestehen dann sowohl aus ungeradem Zähler als auch aus ungeradem Nenner. Faßt man am Ende wieder alle Brüche zu einem zusammen, steht sowohl im Zähler das Produkt aus ungeraden Zahlen als auch im Nenner. Ergebnis: Ein Bruch mit ungeradem Zähler und ungeradem Nenner. Dieser ergibt wie alle Binomialkoeffizienten eine ganze Zahl,

d . h

. die Faktoren aus einer Primfaktorzerlegung des Nenners müssen in der Primfaktorzerlegung des Zählers vorhanden sein und somit werden beim Kürzen letztendlich nur einzelne Faktoren des Zählers "weggestrichen" aber keine neuen hinzugefügt. War der Zähler vorher ungerade, er enthielt den Faktor 2 nicht, dann kann auch das Endergebnis keinen Faktor 2 enthalten und muß folglich ungerade sein.

Gammler aktiv_icon

18:45 Uhr, 20.09.2012

Okay, klingt alles logisch.

Allerdings habe ich dann doch noch eine Frage:
Könnte man die einzelnen ungeraden Brüche nicht auch jeweils mit einem

2^{m}

erweitern, sodass sie gerade werden?
Alles ziemlich abstrakt..^^

Liebe Grüße

Gammler aktiv_icon

19:36 Uhr, 20.09.2012

Noch eine (kleine) Nachfrage:

Wenn man nun andersherum beweisen will dass

(\begin{matrix} 2^{n} \\ k \end{matrix})

für alle

1 \leq k \leq 2^{n} - 1

gerade ist...

. .

. dann könnte man doch ganz simpel sagen, dass durch den in jedem Fall auftauchenden Bruch

\frac{2^{n}}{1}

schon eine gerade Zahl im Produkt enthalten ist, was den ganzen Binomialkoeffizienten gerade macht, oder nicht?

Liebe Grüße

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1029777

1029500

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?