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Quotientenkriterium & Majorantenkriterium

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Folgen und Reihen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen

Trinity404 aktiv_icon

01:40 Uhr, 22.05.2019

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich des Majorantenkriterium und Quotientenkriterium undzwar habe ich die folgende Reihe:

Summe von

k = 1

bis ∞

\frac{1}{k^{3}}

ich habe für diese Reihe bereits gezeigt, dass die Konergiert und den Grenzwert bestimmt und das alles mit dem Majorantenkriterium. Ih habe erst versucht die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium zu lösen ging aber nicht und erstehe nicht wieso das nicht geht. Könntet Ihr mir erklären warum man die Reihe mit dem Majorantenkriterium lösen kann und das mit dem
Quotientenkriterium aber nicht geht?
wäre für eine ausführlichere Erklärung dankbar:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

13:08 Uhr, 22.05.2019

Hallo
das QK ist ein hinreichendes Kriterium,(kein notwendiges) es hilft oft nicht, wenn der GW des Quotienten 1 ist heisst das ja nicht, es konvergiert nicht, nur es ist nicht bewiesen, dann braucht man eben ein anderes.
das passiert oft.
Gruß ledum

HAL9000

14:41 Uhr, 22.05.2019

Das Quotientenkriterium liefert keine Aussage, wenn der Quotient gleich 1 ist. Dummerweise ist das z.B. bei ALLEN Reihen der Fall, wo das Reihenglied eine (gebrochen) rationale Funktion ist - es hat also da überhaupt keinen Zweck, es überhaupt zu versuchen. :-)

anonymous

08:44 Uhr, 23.05.2019

Hallo
"ich habe für diese Reihe bereits

[...]

den Grenzwert bestimmt und das alles mit dem Majorantenkriterium."

Mit dem Majorantenkriterium kannst du keinen Grenzwert bestimmen. Du kannst ihn höchstens einseitig abgrenzen.
Wenn wir das besser studieren wollten, dann müsstest du schon verraten, welche Majorante du genutzt haben willst, und welchen Grenzwert du gefunden haben willst...

Trinity404 aktiv_icon

01:57 Uhr, 26.05.2019

tut mir leid für die fehlerhate Fragestellung. Ich haeb die Konvergenz dieser Reihe mit dem Majorantenkriterium bewiesen und nicht den Grenzwert.

ich bin mir nicht sicher aber ich glaube ich habe es dieses mal verstanden:

Summe von

k = 1

bis ∞

(\frac{1}{k^{3}})

\Rightarrow z . z

es gilt

k^{3} > k^{2},

also

\frac{1}{k^{3}} <^{/} k^{2}

für groß

k

\Rightarrow

erst beweisen, dass die Reihe

\frac{1}{k^{2}}

konvergiert

\Rightarrow

für

k \geq 2

gilt

\frac{1}{k^{2}} = < (\frac{1}{k \cdot (k - 1)})

\Rightarrow

wir wissen, dass Summe von

k = 2

bis ∞

(\frac{1}{k \cdot (k - 1)}) =

Summe von

k = 1

bis ∞

(\frac{1}{k \cdot (k + 1)}) = 1

\Rightarrow

Majorantenkriterium:

\frac{1}{2^{k}} < (\frac{1}{2^{k - 1}})

und

1 =

Summe von

k = 1

bis ∞

\frac{1}{2^{k}} <

Summe von

k = 0

bis ∞

1 (2^{k} = 2

also kurz aufgeschrieben:

Summe von

k = 1

bis ∞

\frac{1}{2^{k}} < 2

konvegent #

\Rightarrow

Dann gilt für

\frac{1}{k^{3}}

Summe von

k = 1

bis ∞

\frac{1}{3^{k}} < 3

konergent #

\Rightarrow

damit wurde gezeigt dass die Reihe

\frac{1}{k} 3

konvergiert #

anonymous

09:46 Uhr, 26.05.2019

Hallo nochmals.
Deine Schreibweise macht den Gedankengang sehr schwer lesbar.
Dieser Editor hier macht es dem ungeübten Nutzer ja auch wirklich nicht sehr leicht.

Wenn ich recht verstanden habe, willst du die Majorante zur Majorante der Majorante der Majorante bilden...
Sorry, wenn ich das vorab als umständlich bezeichne.
Meist und typischerweise bildet man einfach EINE Majorante, und würde in deinem Fall zeigen, dass deren Glieder eben größer als die Glieder der ursprünglich zu untersuchenden Reihe sind.

Aber na ja, schaun wir mal weiter, was ich verstanden habe.
Unsere ursprüngliche - und zu untersuchende Reihe:

S_{1} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}}

Dann hast du einen Zwischenschritt

S_{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = 1 + S_{3}

Da stimme ich zu. Da ist erkennbar, dass die Glieder der Reihe

S_{1}

kleiner sind, als die der Reihe

S_{2}

.

Dann hast du einen (oder mehrere) Zwischenschritt,
da du offensichtlich eine Index-Verschiebung machst, empfehle ich auch, den anderen Index als anderen Bezeichner kenntlich zu machen.
Ich fasse zusammen zu:

S_{4} = \sum_{p = 1}^{\infty} \frac{1}{p \cdot (p + 1)}

Auch da stimme ich zu. Da ist erkennbar, dass die Glieder der Reihe

S_{3}

kleiner sind, als die der Reihe

S_{4}

.

Dann hast du einen Zwischenschritt (namens "Majorantenkriterium"):

S_{5} = \sum_{p = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{p}} = 1

Und ich vermute, da hast du

p^{2}

irgendwie mit

2^{p}

verwechselt.
Denn hier stimme ich klar nicht mehr zu. Denn die Glieder der Reihe

S_{5}

sind ja sicherlich nicht mehr größer, als die der Reihe

S_{4}

.
Nimm doch einfach mal das Beispiel

p = 10

dann siehst du, wie doch die Potenzfunktion wesentlich schneller schwindet, als die gebrochene Polynomfunktion.
Kurz und gut: die

S_{5}

ist keine 'Majorante' der

S_{4}

.

Tipp (wenn du denn diesen langen Weg zu Ende gehen willst):
Zum Nachweis der Konvergenz der Reihe

S_{4}

drängt sich doch schon die Partialbruchzerlegung auf...

anonymous

09:59 Uhr, 26.05.2019

Ich will dich natürlich auch auf jeden Fall auf deinem Weg bestärken und ermutigen, deinen Weg erst mal zu Ende zu gehen.

Wenn du das aber hast, dann soll man ja auch studieren, lernen, Alternativen suchen und Verständnis vertiefen, ob nicht auch kürzere Wege möglich sind.
Dann könntest du mal guggen:

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