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Quotientenraum
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Mengentheoretische Topologie
Tags: Algebraische Topologie, Mengentheoretische Topologie
 
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Hallo Zusammen ich habe folgendes Problem. Ich komme bei folgender Aufgabe überhaupt nicht vom Fleck. Let O(n) denote the orthogonal group, this is the subgroup of GL(n, R) satisfying the following relations O(n) = {M ∈ GL(n, R) | M^TM = id} This group has a natural left action on R^n which behaves as matrix multiplication, sending a point x ∈ R^n x → Mx Prove that the quotient space of the action of O(n) on R^n is homeomorphic to [0, ∞). Mein erstes problem liegt daran, dass ich keine Äquivalenzrelation habe, damit ich den Quotientenraum erstellen kann. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, hier hast du zunächst mal deine Äquivalenzrelation: . Gruß ermanus |
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Super vielen Dank dafür. Nun kann ich eine funktion f: R^n -> R^n/~ mit x -> [x] und [x] = {y R^n| y = Mx, M O(n)} und nachher eine funktion h definieren, welche R^n/~ -> [0,infinit) stetig, umkehrbar stetig und bijektiv ist. Sehe ich das richtig so? |
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Ja, das siehst du ganz richtig. Vielleicht noch ein paar hoffentlich nützliche Bemerkungen: bedeutet ja, dass und in derselben Bahn unter der Aktion von liegen, d.h. insbesondere, dass gilt, wenn die euklidische Norm ist; denn die Elemente von sind Isometrien des euklidischen Skalarproduktes. Überlege dir in diesem Zusammenhang vielleicht auch noch, dass transitiv auf der Einheitssphäre operiert, ... Gruß ermanus |
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Super, Herzlichen dank |
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Hallo Zusammen Ich habe noch eine Rückfrage. Wie kann ich nun eine bijektive Funktion von einer Äquivalenzklasse, welche Vektoren im R^n besitzt auf ein Intervall in R finden? Ich weiss ja dass die Norm von allen Elementen in der Äquivalenzklasse gleich ist. Somit wäre mein erster Vorschlag jedes Element in R/~ auf dessen Norm abzubilden. also h: [x]-> ||x|| jedoch habe ich da ein problem mit dem unendlichen Intervall. |
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Ganz "einfach": sei die Äquivalenzklasse von . Dann ist , die gesuchte Abbildung. Du musst halt u.a. zeigen, dass wohldefiniert ist, bijektiv und in beiden Richtungen stetig. Gruß ermanus |
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Injektivität war einfach zu zeigen. Die surjektivität ist jeweils etwas anspruchsvoller. Meine Idee ist, dass sich alle Vektoren von R^n (also wirklich alle Vektoren mit n Einträgen) nun in meinem Quotientenraum befinden. Diese Vektoren sind nun in Familien bezüglich Mx sortiert. Da ja Mx die länge beibehält sind alle Vektoren pro klasse glich lang. Die norm ist immer grösser/gleich Null. Für mich ist es auch verständlich, dass ich für jeden Wert im Intervall eine entsprechende Klasse finde. Doch wie zeige ich dies Formal? genügt es zu zeigen, dass für jedes y [0,] existiert ein x R^n with f(x)=y definiere x= {(y^2,0,0,0,0,0,0,......,0),(0,y^2,0,0,..,0), ...., (0,0,0,......,y^2)} diese norm wäre dann genau y. Stimmt dies so? |
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Warum du nimmst ist mir unklar. Sei . Z.B. der Vektor hat doch bestimmt die Norm , also ist surjektiv. |
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Ah ja klar. Mein Überlegungsfehler. Danke für die Hilfe. |
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Die euklidische Norm von ist , wenn ist. |
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Ein Problem bei dem ist aber noch nicht geklärt. Wieso ist injektiv? Es ist zwar so, dass Vektoren der gleichen Klasse die gleiche Norm haben, also wohldefiniert ist, aber warum sollen Vektoren der gleichen Norm in derselben Klasse liegen? Habe editiert! |
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Dies habe ich mit dem M begründet, da die orthogonale Gruppe die Spiegelungen und Drehungen beinhaltet. Somit verändert sich die Länge der Vektoren nicht. Ich komme eher bei folgendem nicht mehr weiter. Nun muss ich ja noch beweisen, dass f stetig und f^-1 stetig ist. Dies möchte ich zeigen, indem dass ich zeige dass das Urbild einer offenen Menge wieder offen ist. Im Intervall ist der Begriff offen klar. Jedoch im Quotientenraum ist dies nicht so klar für mich. Ich fand folgende definition: Ich fand dass eine Menge A R^n/~ offen ist, wenn die Vereinigung der Äquivalenzklassen in A offen in R^n sind. Jedoch wann ist eine wilde Ansammlung von Vektoren offen? Wenn das Komplement geschlossen ist. Doch dies sind wieder Vektoren. Zum Illustrieren: nehme an in meinem Quotientenraum sind 5 klassen [x1],[x2],[x3],[x4],[x5] Nun definiere ich eine Nachbarschaft A um [x2], welche [x1] und [x3] umschliesst. Somit besteht die Vereinigung aus allen Vektoren in diesen klassen, da die klassen disjunkt sind. Und das Komplement sind die Vektoren aus 4 und 5. Wie sehe ich nun dass diese geschlossen sind? Ich kann auch nicht einen geschlossenen Ball um diese Vektoren legen, da sie im Raum verteilt sind. |
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Dies habe ich mit dem M begründet, da die orthogonale Gruppe die Spiegelungen und Drehungen beinhaltet. Somit verändert sich die Länge der Vektoren nicht. Ich komme eher bei folgendem nicht mehr weiter. Nun muss ich ja noch beweisen, dass f stetig und f^-1 stetig ist. Dies möchte ich zeigen, indem dass ich zeige dass das Urbild einer offenen Menge wieder offen ist. Im Intervall ist der Begriff offen klar. Jedoch im Quotientenraum ist dies nicht so klar für mich. Ich fand folgende definition: Ich fand dass eine Menge A R^n/~ offen ist, wenn die Vereinigung der Äquivalenzklassen in A offen in R^n sind. Jedoch wann ist eine wilde Ansammlung von Vektoren offen? Wenn das Komplement geschlossen ist. Doch dies sind wieder Vektoren. Zum Illustrieren: nehme an in meinem Quotientenraum sind 5 klassen [x1],[x2],[x3],[x4],[x5] Nun definiere ich eine Nachbarschaft A um [x2], welche [x1] und [x3] umschliesst. Somit besteht die Vereinigung aus allen Vektoren in diesen klassen, da die klassen disjunkt sind. Und das Komplement sind die Vektoren aus 4 und 5. Wie sehe ich nun dass diese geschlossen sind? Ich kann auch nicht einen geschlossenen Ball um diese Vektoren legen, da sie im Raum verteilt sind. |
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Zur Stetigkeit: Sei , dann ist die Topologie von so definiert, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn offen in ist, wobei die kanonische Abbildung ist. ist zudem eine offene Abbildung. Weiter wissen wir, dass stetig ist. Damit dürfte man doch auf die Stetigkeit von schließen können. Deine Argumentation bzgl. der Injektivität verstehe ich nicht. Meiner Ansicht nach muss man zur Begründung heranziehen, dass auf der Einheitssphäre transitiv operiert. Gruß ermanus |
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Soo nun habe ich die Aufgabe gelöst. Ich danke dir vielmals für deine Hilfe. |
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