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Quotientenraum endlichdimensional

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: endlich-dimensional, Quotientenraum, Vektorraum

PeterHoch10 aktiv_icon

16:40 Uhr, 28.04.2021

Es seien

V

ein endlich-dimensionaler Vektorraum und

U

ein Untervektorraum von V. Zeigen Sie, dass dann auch der Quotientenraum

\frac{V}{U}

endlich-dimensional ist.

Wie kann ich das zeigen? Ich denke mal, dass die Abhängigkeit von

dim U

und

dim V

wichtig ist.

Wir wissen schon, dass

\frac{V}{U}

eine abelsche Gruppe bezüglich

+

ist und mit der skalaren Multiplikation gilt:

λ \cdot (U + v) := U + λ v

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

PeterHoch10 aktiv_icon

16:52 Uhr, 28.04.2021

Meine Idee:

Sei

U'

ein Komplement zu

U \in V

. Dann betrachten wir die folgende Abbildung:

ψ : U' \to^{i} V \to^{p} \frac{V}{U}

ψ

ist dann ein Isomorhpismus, denn es gilt:

k e r n (ψ) = k e r n (p) \cap U' = U \cap U' = {0}

.
Also ist

ψ

injektiv. Sei nun

v + U \in \frac{V}{U}

beliebig. Wegen

U + U' = V

existiert ein

u \in U

und ein

u' \in U'

mit

u + u' = v,

also

u' + U = v + U

. Somit ist

u'

ein Urbild von

v + U

unter

ψ

ermanus aktiv_icon

17:03 Uhr, 28.04.2021

Hallo,
ja, so kannst du es machen. Ich hätte es eher elementar gemacht:
Sei

\dim (V) = n

und seien

v_{1} + U, \dots, v_{n + 1} + U

Elemente von

V / U

.
Dann sind die

v_{1}, \dots, v_{n + 1}

linear abhängig in

V

und man kann
o.B.d.A. annehmen, dass

v_{n + 1} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i}

ist.
Dann ist

U + v_{n + 1} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (U + v_{i})

U / V

, ...
Gruß ermanus

PeterHoch10 aktiv_icon

17:07 Uhr, 28.04.2021

Ok vielen dank. Ist definitiv auch ein guter Weg! :-)

Viele Grüße,
Peter

michaL aktiv_icon

19:04 Uhr, 28.04.2021

Hallo,

wie immer eine elegante Lösung zum Problem.

Ich hätte vermutlich gleich weiter geworfen und

\dim (V / U) = \dim (V) - \dim (U)

bewiesen.

Das geht relativ einfach dadurch, dass man eine Basis

B_{U}

von

U

zu einer Basis

B

von

V

ergänzt.
Etwa

B_{U} = {b_{1}, \dots, b_{u}}

und

B = {b_{1}, \dots, b_{u}, b_{u + 1} \dots, b_{n}}

(mit

u < n

).

Es ist dann zu zeigen, dass

{[b_{u + 1}], \dots, [b_{n}]}

eine Basis von

V / U

ist.

Dann ist die obige Formel und damit die Behauptung klar.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

23:28 Uhr, 28.04.2021

"Ich hätte vermutlich gleich weiter geworfen"
Das war mir leider verwehrt, da ich beim Schlagballweitwurf
eine absolute und zuverlässige Niete war ;-)

Unser Fragesteller kann

\dim (U / V)

auch direkt aus seiner
Isomorphielösung bestimmen als

\dim (U / V) = \dim (U ʹ)

, wobei

U \oplus U ʹ = V

ist.

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