Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Qutientenkriterium versagt, was nun?

Qutientenkriterium versagt, was nun?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

darek aktiv_icon

22:45 Uhr, 22.06.2014

Hi Freunde,

wieder eine Aufgabe aus den Altklausuren des Profs.

Die Reihe soll auf Konvergenz bzw. Divergenz geprüft werden.

\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{n^{2} - n + 1}{5 n^{2} - 8})

Sieht verdächtig nach Quotientenkritterium aus! Jetzt kommt genau 1 raus,
also versagt das Quotientenkriterium ja, was nun? Soll ich einfach irgendein anderes Kriterium anwenden? Es gibt, meines Erachtens nach, keine Anhaltspunkte welches man nutzen soll.

Danke schon mal.

Fabienne- aktiv_icon

22:49 Uhr, 22.06.2014

Das Quotientenkriterium ist manchmal eine Stumpfe Waffe und bei solchen Reihen mit so einem Term über dem summiert wird, da brauchst du es mit dem Quotientenkriterium gar nicht probieren.
Führe Abschätzungen durch.

gonnabeph aktiv_icon

23:33 Uhr, 22.06.2014

Es sollte erstmal untersucht werden ob

a_{n}

überhaupt eine Nullfolge ist.

mathe-mitch aktiv_icon

23:43 Uhr, 22.06.2014

Zuerst sollte man prüfen ob deine Folge für

n \to \infty

gegen Null läuft, nur dann kann die Reihe konvergent sein, ansonsten divergent.

Bestimme

lim n \to \infty

von deiner Folge, Tipp: der ist nicht

0,

also ist die Reihe divergent.

Grüße

darek aktiv_icon

02:49 Uhr, 23.06.2014

so? also ganz ohne Kriterium?

lim \to \infty \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{n^{2} - n + 1}{5 n^{2} - 8})

= \frac{n (n - 1 + \frac{1}{n})}{n (5 n - \frac{8}{n})}

wir kürzen

n

weg

, \frac{1}{n}

und

\frac{8}{n}

laufen gegen 0

= \frac{n - 1}{5 n}

= \frac{n (1 - \frac{1}{n})}{5 n}

wie oben...

= \frac{1}{5}

Bummerang

07:11 Uhr, 23.06.2014

Hallo,

"so? also ganz ohne Kriterium?"

Natürlich nicht ohne Kriterium! Wenn die Folge, auf der die Reihe basiert, keine Nullfolge ist, dann nennt man dies

i . d . R

. das Trivialkriterium!

pwmeyer aktiv_icon

08:50 Uhr, 23.06.2014

Hallo,

vielleicht nocht zur Ergänzung, das erste Gleichheitszeichen im letzten Post von Darek ist völlig falsch.

Gruß pwm

darek aktiv_icon

14:29 Uhr, 23.06.2014

Ja okay, ich hab ja jetzt nun die Folge einfach ggn

\infty

laufen lassen.
Unverändert. Ist das jetzt in dem Fall das Trivialkriterium? Wenn ja, was sagt mir

\frac{1}{5}

? (sofern ich das richtig gemacht habe)

lg

michaL aktiv_icon

14:58 Uhr, 23.06.2014

Hallo,

herrlich!

> Ja okay, ich hab ja jetzt nun die Folge einfach ggn ∞ laufen lassen.

Nein, das hast du auch nicht. Du hast das Argument (

n

) der Folge gegen unendlich laufen lassen und dabei geschaut, wogegen die Folgeglieder streben.

Oder einfacher, du hast den Grenzwert der Folge

{(\frac{n^{2} - n + 1}{5 n^{2} - 8})}_{n \in ℕ}

für

n \to \infty

gebildet.

Mfg Michael

PS: Hinter ungenauer Sprache steckt zumeist auch ein ungenauer Gedanke.
In einer so exakten Wissenschaft wie der Mathematik eine Katastrophe...

darek aktiv_icon

15:33 Uhr, 23.06.2014

Okay, long story short: Ich habe keine Ahnung was ich machen soll. Mit den effesten Fällen für die gängigsten Kriterien komme ich zurecht, aber mit dieser "Sondersituation" bin ich zum ersten Mal konfrontiert. Kann man mir die Aufgabe evtl. vorrechnen(und ich stelle an den stellen Fragen wo ich es nicht verstehe)? Oder detailiert und in mathe-loser-freundlicher Sprache erklären was ich machen soll.

LG

DrBoogie aktiv_icon

15:37 Uhr, 23.06.2014

Es gibt dieses Kriterium:
http//de.wikipedia.org/wiki/Nullfolgenkriterium

Nach diesem Kriterium ist die Reihe divergent, wenn