Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » R als Q-Vektorraum

R als Q-Vektorraum

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: dimension, Transzendenz, Vektorraum

heyloism aktiv_icon

13:59 Uhr, 20.04.2015

Hallo,

ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

"Eine reelle Zahl

r \in ℝ

heißt transzendent, wenn es kein Polynom

p \in ℚ (x)

gibt mit

p (r) = 0

. Es ist eine höchst nicht-triviale Tatsache, dass die Zahl

π = 3.1415 . .

. transzendent ist.
Beweisen Sie damit

{dim}_{ℚ} (ℝ) = \infty

"

Mein Lösungsvorschlag:

Angenommen

ℝ

hätte als Vektorraum über

ℚ

endliche Dimension,

d . h

. zu jedem

x \in ℝ

gäbe es ein

n \in ℕ

so dass

x^{0}, x^{1}, x^{2}, ..., x^{n}

linear unabhängig wären. Es gäbe also rationale Zahlen

λ_{i} \in ℚ

mit

i = 0, ..., n

so dass
(i)

λ_{0} + λ_{1} x + λ_{2} x^{2} + . .

+ λ_{n} x^{n} = 0

Sei nun

x := π \in ℝ

π

transzendent ist, hat die Gleichung

(i)

nur die triviale Lösung

λ_{i} = 0 \forall i

. Somit sind die Vektoren

x^{0}, x^{1}, x^{2}, ..., x^{n}

linear abhängig

\to

Widerspruch zur Annahme

\Rightarrow {dim}_{ℚ} (ℝ) = \infty

Ist das korrekt und Stichhaltig so?

DrBoogie aktiv_icon

14:08 Uhr, 20.04.2015

Überhaupt nicht korrekt.
Es stimmt hinten und vorne nicht.
Angefangen damit, dass "Angenommen

R

hätte als Vektorraum über

Q

endliche Dimension" mitnichten dasselbe ist wie "zu jedem

x \in R

gäbe es ein

n \in N

so dass

x_{0}, . . ., x_{n}

linear unabhängig wären".

heyloism aktiv_icon

14:25 Uhr, 20.04.2015

Habe gerade gemerkt, dass ich in beiden fällen lin.-abhängikeit und lin-unabh. vertauscht habe. Macht es das besser? :-D)

DrBoogie aktiv_icon

14:44 Uhr, 20.04.2015

Nein, ist genauso falsch wie früher.

Ein Beispiel, warum Deine Idee mit

π

nicht funktionieren kann:

V := {a + b π ∣ a, b \in Q}

ist ein

Q

-Vektorraum der Dimension

2

, aber

π \in V

heyloism aktiv_icon

14:54 Uhr, 20.04.2015

Hm, ja leuchtet glaube ich ein. Aber wie müsste ich denn dann an das Problem heran gehen?

DrBoogie aktiv_icon

14:59 Uhr, 20.04.2015

Leider kenne ich nicht die Intention des Autors der Aufgabe.
Normalerweise argumentiert man beim Beweis von

\dim (R : Q) = \infty

so:

Q

ist abzählbar und so ist jeder endlicher Vektorraum über

Q

abzählbar,

R

ist aber überabzählbar.
Bei diesem Beweis ist aber das mit

π

ziemlich irreführend, so dass ich vermute, dass es doch ein anderer Beweis gemeint ist. Welcher nur - das weiß ich nicht.

Apfelkonsument aktiv_icon

15:11 Uhr, 20.04.2015

Ich muss ganz ehrlich sagen, ich sehe nicht, warum der Beweisversuch im Threadstart so komplett falsch sein soll. Klar, kleine Fehler sind drin, man müsste es etwa so formulieren:

Wäre

ℝ

als

ℚ

-VR endlich-dimensional, etwa mit Dimension

n

, so wären

1, π, π^{2}, . . ., π^{n}

linear abhängig, also existieren

λ_{0}, . . ., λ_{n} \in ℚ

, die nicht alle gleich

0

sind, so dass

λ_{0} + λ_{1} π + . . . + λ_{n} π^{n} = 0

. Das liefert ein Polynom, deren Nullstelle

π

ist.

Dein Gegenbeispiel ist keines, weil

π^{2}

nicht in deinem Vektorraum drin liegt, in

ℝ

aber schon.

DrBoogie aktiv_icon

15:15 Uhr, 20.04.2015

Ja, so ist es richtig.

Ich hatte einfach nicht die Geduld, den Originalbeweis zu "entschlüsseln". :-)
Tut mit leid.

heyloism aktiv_icon

16:58 Uhr, 20.04.2015

Alles klar vielen Dank für die Hilfe :-)

1229178

1229115

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?