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R ein Lokaler Ring, dann R/I auch lokal?

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Tags: Ideal, Ring

mathe-mitch aktiv_icon

10:42 Uhr, 16.12.2017

Hallo bei mir ist ein komm. Ring gegeben, der lokal sein soll,

d . h

. er besitzt genau ein maximales Ideal M.
Im ersten Aufgabenteil habe ich schon gezeigt, dass die Menge der Nicht-Einheiten auch ein Ideal bilden und dass diese Menge sogar

= M

ist.

Nun komme ich bei einer der nächsten beiden Teilaufgaben nicht ganz weiter:

1)

Wenn I

\neq R

ein Ideal in

R

ist (und

R

ist lokal), dann soll

R / I

auch ein lokaler Ring sein,

d . h

. genau ein

max

Ideal besitzen.

2)

Für welche

n

ist

Z / n Z

ein lokaler Ring?

Bei

1)

stehe ich noch auf dem Schlauch.
In einer anderen Aufgabe haben wir folgende Aussage gezeigt:

R

komm Ring, I

\subset R

Ideal von R.

π : R \to R / I, a \mapsto a + I

Ringhom.

φ : {J | J

ist Ideal von

R / I} \to {K | K

ist Ideal von

R

mit I

\subset K}

J \mapsto π^{- 1} (J)

ist eine bijektive Abbildung.
Und da

M

alle Ideale außer

R

selbst enthält, so könnte ich das

K

sozusagen durch

M

einfach ersetzen.
Aber ich weiss nicht ob mich das überhaupt weiterbringt oder ob ein anderer Ansatz für den Beweis benötigt wird

: (

Bei

2)

Wenn

n

eine Primzahl ist, dann ist

Z / n Z

ein Körper und hat dann keine Ideale außer 0 und

Z / n Z,

somit müsste 0 das einzige maximale Ideal sein und somit ist die Struktur ein lokaler Ring.

Wenn

n

keine Primzahl ist, dann ex eine Primfaktiorzerlegung sowas wie

n = p^{k} q^{m}

wobei

p, q

Primzahlen. Und dann würden

< p >

und

< q >

maximale Ideale in

Z / n Z

sein und dann gibt es mehr als ein maximales Ideal, also kein lokaler Ring.
Ist die Idee okay?
Sry für Riesentext.

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12:05 Uhr, 16.12.2017

"Wenn n keine Primzahl ist, dann ex eine Primfaktiorzerlegung sowas wie "

Nicht unbedingt. Es kann auch

n = p^{k}

sein.

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12:31 Uhr, 16.12.2017

Ideale in

R / I

sind grundsätzlich von der Form

J / I

mit

J

-Ideal in

R

.
Gäbe es zwei maximale Ideale

J_{1} / I

und

J_{2} / I

R / I

, so gäbe es zwei maximale Ideale

J_{1}, J_{2}

R

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12:31 Uhr, 16.12.2017

Ideale in

R / I

sind grundsätzlich von der Form

J / I

mit

J

-Ideal in

R

.
Gäbe es zwei maximale Ideale

J_{1} / I

und

J_{2} / I

R / I

, so gäbe es zwei maximale Ideale

J_{1}, J_{2}

R

mathe-mitch aktiv_icon

13:27 Uhr, 16.12.2017

Aber die Idee mit

n = p

Primzahl, dass es dort mit

0 =

maximales Ideal klappt, ist richtig?

okay, zu meinem Verständnis:

Z / 4 Z, 4 = 2^{2} : < 2 > = {2,0}

ein maximales Ideal.

Z / 8 Z, 4 = 2^{3} : < 2 > = {0,2,4,6}

auch maximales Ideal und so weiter.
Dann gibt es genau ein maximales Ideal, wenn

n = p^{k}

ist und mehrere maximale Ideale wenn

n = p^{k} q^{m}

und so weiter?

Grüße

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13:39 Uhr, 16.12.2017

Ja, das ist richtig.

mathe-mitch aktiv_icon

14:07 Uhr, 16.12.2017

Vielen Dank.

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