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(R,+,) ist ein Unterring von (Mat(2x2,R),+,)

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Komplexe Zahlen, Matrixmulitplikation, Ring, Unterring

Bibsel aktiv_icon

14:41 Uhr, 15.01.2014

Peinlich...
Die Aufgabe sah so leicht aus (ist sie vermutlich auch...) Jedoch habe ich wie gewöhnlich das Problem, dass ich nicht genau weiß, wie ich anfangen muss.
Ich hoffe ihr seht darüber hinweg, dass die Frage vermutlich eher etwas dumm ist^^

Die Aufgabe:
Hier behandeln wir eine alternative Möglichkeit, die komplexen Zahlen einzuf̈uhren. Sei dazu

R := {(\begin{matrix} x & - y \\ y & x \end{matrix}) | x, y \in ℝ},

versehen mit der komponentenweisen Addition "+" und der Matrixmultiplikation "

\cdot

". Zeigen Sie:

a) (R, +, \cdot)

ist ein Unterring von (Mat(2

\times 2, ℝ), +, \cdot)

b) (R, +, \cdot)

ist isomorph zum Körper

ℂ

der komplexen Zahlen (mit der üblichen Addition und Multiplikation).

- - - - - - - -

Hier erst einmal die Definitionen:

a)

Sei

(R, +, \cdot)

ein Ring. Eine Teilmenge

Q \subset R

heißt Unterring, falls

Q

eine Untergruppe von

(R, +)

ist und für alle

x, y \in Q

gilt

x \cdot y \in Q

.
Dann hier auch noch einmal die Axiome für Untergruppen (weil es so schön ist^^):
1. enthält das neutrale Element;
2. sind

h_{1}, h_{2} \in H,

so ist auch

h_{1} ⋆ h_{2} \in H;

3. ist

h \in H,

dann ist auch

h^{- 1} \in H

Die Bedingungen stehen da soweit, nur hapert es hier dann auch schon wieder... Kann mir irgendjemand helfen? Vermutlich liegt es an absolut banalen Dingen, dass ich nicht weiterkomme...
Vielen Dank im Voraus!
Grüße,
Bibsel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:46 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

das ist schon erheblich mehr, als ich sonst zu lesen bekomme. Soll heißen: darauf kann man aufbauen.

Beginnen wir mit dem ersten (Untergruppen-)Axiom.
> 1. enthält das neutrale Element;

Tut er (der RIng

R

) das?

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

17:02 Uhr, 15.01.2014

Danke für deine Antwort :-)

Das neutrale Element ist bei der Matrixaddition die Nullmatrix

(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

und bei der Matrizenmultiplikation die Einheitsmatrix

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}),

somit enthält

R

das neutrale Element, oder gehe ich da schon falsch vor?

michaL aktiv_icon

17:06 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

ok, ich wäre damit zufrieden. Perfekt wäre es, wenn du noch

x

und

y

angeben würdest, damit man auch "wirklich" sehen könnte, dass du recht hast. Aber das ist vermutlich nicht wirklich nötig.

So, weiter:
> 2. sind h1,h2∈H, so ist auch h1⋆h2∈H;

Schreibe die letzte Gleichung so um, dass sie möglichst gut auf die Aufgabenstellung passt.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

17:28 Uhr, 15.01.2014

Hallo,
gut, natürlich würde ich es dann auch gern ausführlich aufschreiben ;-) Reicht es aus hinzuschreiben, dass man bei der Addition

x = y = 0

setzt und bei der Matrizenmultiplikation

x = 1

und

y = 0

oder wie wäre da der fachlich optimale Weg?

Zu

2) h_{1}, h_{2} \in H,

so ist auch

h_{1} ⋆ h_{2} \in H

.
Sinnvoll umgeschrieben wäre es wie folgt (für die Addition?!):

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix})

Setze für

x = 0

und

y = 0

(Nullmatrix als neutrales Element der Addition)

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), 0 + 0 = 0 \in H

und

0 + 0 = 0 \in H

(stimmt das so weit überhaupt?)
Für die Multiplikation rechne ich doch dann mit der Einheitsmatrix, oder?

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

und das ist wieder in

H

in meinem Kopf sah es wesentlich logischer aus, als dann hier..

michaL aktiv_icon

17:38 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

> gut, natürlich würde ich es dann auch gern ausführlich aufschreiben ;-) Reicht es aus hinzuschreiben, dass man bei der
> Addition x=y=0 setzt und bei der Matrizenmultiplikation x=1 und y=0 oder wie wäre da der fachlich optimale Weg?

Ja, reicht dann auf jeden Fall.

> Zu 2)h1,h2∈H, so ist auch h1⋆h2∈H.

Wieso schreibst du hier 2x1-Matrizen (d.h. Vektoren)? Es geht doch um 2x2-Matrizen?!
Das kann schon aus dem Grund nicht stimmen.

Außerdem geht es hier um allgemeine Vertreter des RIngs. Hier darfst du

x

bzw.

y

nicht mehr wählen.
Bedenke: Bei den Axiomen steht bei der Abgeschloosenheit: "für alle" (

h_{1}, h_{2}

gilt:

h_{1} * h_{2} \in H

)
Im Gegensatz dazu steht beim neutralen Element "es existiert" (oder gibt o.ä.). Da musst du nur zeigen, dass eines vorhanden ist.

Unterschied klar?

Die Abgeschlossenheit sowohl für Addition (einfacher) als auch Multiplikation (schwieriger) musst du also nochmal machen!

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

18:03 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

Jetzt wo du es so sagst ist das natürlich absoluter Schwachsinn gewesen...
Ja, den Unterschied zwischen dem neutralen Element und dem Nachweis der Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation verstehe ich, jedoch muss ich zugeben, dass ich gerade absolut ratlos bin, was ich machen muss.
Denn wenn ich die Addition rechne und das mit der oben angegebenen Matrix:

(\begin{matrix} x & - y \\ y & x \end{matrix})

dann rechne ich doch

z . B

x + (- y) = x - y

und damit komm ich dann nicht klar.

michaL aktiv_icon

18:25 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

bist du dir bewusst, dass es sich um (2x2-) Matrizen handelt (nicht um (2x1) Vektoren)?

Innerhalb dieser Matrix muss/kann/wird nicht subtrahiert.

Mfg Michael

aleph-math aktiv_icon

18:35 Uhr, 15.01.2014

(~17:05) hallo!
*Edit: Das alte Lied: ich hab geantw., als ich d. Letzte war. Inzwi. hat mich "mich.." überholt. Aber ich glaube, er ist etwas zu genau; o. es liegt daran, daß Physiker wie ich d. Mathe. lockerer nehmen. D. Axiome liegen m.M. auf d. Hand.. Mehr viell. im neuen Beitrag.
-----
Ich will "mich.." nicht ins Handwerk pfuschen, aber falls er grad keine Zeit hat & d. Fragerin wartet, hier weit. Unterstützg.:

Ja, d. Neutral (wir sagten "Null")-Elemente sind ganz richtig, allerd. ist nur d. Nullmatrix notw., da wir d. Gruppe (R,+) betrachten.

F.d. Aufg. a) sind nach eig. Def. mehr. Schritte nötig:
1)

R \subset M a t (I R^{2}) ?

Das ist trivial, da R genauso def. ist.
2) Ist (R,+), also d. Kompon.add., abgeschlossen? Ja, weil IR abgeschl. ist.
3) Exist. f. (R,+) ein Null-Element? Ja, s. ob.
4) Exist. f. (R,+) ein Invers-Element? Ja, weil -x, -y in IR invers zu x, y sind u. damit auch -r aus R (Mat(-x.-y)=-Mat(x,y)=-r). Damit gilt: r - r = 0.
5) Ist (R,*), also d. Matrixmult., abgeschlossen? Ja, weil IR abgeschl. ist.
Damit sind alle Kriter. f.d. Unterring bewiesen; fertig!

D. Aufg. b) (R isomorph zu kompl. Zahlen) muß ich noch genauer anschauen. Bis später!

Bibsel aktiv_icon

18:36 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

Eigentlich war ich mir dessen bewusst, das mit der "komponentenweise Addition" hat mich nur etwas irritiert.

Also rechne ich mit

(\begin{matrix} x & - y \\ y & x \end{matrix}) + (\begin{matrix} x & - y \\ y & x \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 x & - 2 y \\ 2 y & 2 x \end{matrix}),

zugegeben, ich rate gerade nur...
Wenn ich dann die 2 ausklammer, sind die Ergebnisse wieder Element der Matrix

\to

2 \cdot (\begin{matrix} x & - y \\ y & x \end{matrix})

bitte sag mir, dass ich langsam auf dem richtigen Weg bin

: (

Bibsel aktiv_icon

18:41 Uhr, 15.01.2014

Hallo

Deine Antwort hab ich erst jetzt gelesen, ich schau sie mir mal genauer an, aber lauf bitte nicht weg, falls ich noch Rückfragen habe :-D)

Grüße,
Bibsel

aleph-math aktiv_icon

19:01 Uhr, 15.01.2014

Wenn ich gemeint war/bin, Keine Angst, ich lauf nicht weg, allerd. hab ich keinen Chat-Modus, der Antw./Nachr. autom. auf d. Schirm bringt. Ich muß d. Schirm händisch regen. u. das geschieht idR. (nur) in gewissen Abständen.

Ja, d. Weg scheint mir ganz richtig. Bei d. Matrixop. werden immer reelle Zahlen mit d. bekannten reellen Op. verknüpft, das gibt wieder reelle Kompon., f.die d. Axiome ja schon gelten. Also genügt f. alle (Unter)gruppenford. d. Tatsache, daß d. Elemente v. R Matrizen mit reellen Kompon. sind. Das aber ist genau d. Def. von R.

Bis später! -GA

Bibsel aktiv_icon

19:14 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

Leider fürchte ich, dass mein Tutor gern eine weitestgehend ausführliche Antwort zu diesen Aufgaben hätte.
Also mir persönlich ist das leider auch alles etwas weniger klar als dir scheinbar^^.

Wenn ich die einzelnen Definitionen Schritt für Schritt abarbeite (was ich vermutlich tun muss), wie könnte ich denn die Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation nachweisen?

Grüße,
Bibsel

michaL aktiv_icon

19:26 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

ich schalte mich nochmal ein.

Die Addition musst du mit Elementen machen, die verschieden sein dürfen. Wenn du aber die gleichen Elementnamen (

x

bzw.

y

) verwendest, müsen es die gleichen Elemente sein.

Mache doch nochmal eine Addition mit zwei Matrizen mit verschiedenen Variablen(paaren).

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

19:43 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

Also egal was ich durchrechne, die Ergebnisse sind nicht in der eigentlichen Matrix enthalten...
Langsam verzweifel ich so ein bisschen.

Grüße,
Bibsel

aleph-math aktiv_icon

20:33 Uhr, 15.01.2014

Gu. Abd!

Ich hoffe, Hilfe v. 2 Seiten ist nicht (zu) verwirrend ~;-)

Ich dachte, als Tipp, um auf d. richt. Weg zu kommen, genügen m. Hinweise, aber selbstverst. geht's auch ausführl.

ad 1) Ich glaub, das ist wirkl. trivial. R ist p. Def. eine (Unter)Menge (genau genommen sogar (Unter)raum) d. Menge d. 2x2-Matrizen, also:

R \subseteq Mat (2 \times 2, x, y \in ℝ)

.

ad 2) Sei

z, r 1, r 2 \in R; x, y, a, b, u, v \in ℝ

, dann gilt:

r_{1} + r_{2} = (\begin{array}{rcl} x & y \\ y & x \end{array}) + (\begin{array}{rcl} a & b \\ b & a \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x + a & y + b \\ y + b & x + a \end{array}) \binom{*)}{=} (\begin{array}{rcl} u & v \\ v & u \end{array}) = : z

.
D. letzte Matrix in d. Kette ist genau d. Def. eines Elem. v. R, also gilt offensicht.:

z \in R

, dh. d. Addit. von Matrizen

\in R

führt nach

R

zurück. Das aber ist genau d. Defin. von "Abgeschlossenh."!
Viell. auch so: D. Kompon. u & v sind reell (

ℝ

ist ein Körper, also insbes. abgeschlossen => Op.s wie x+a etc. führen wieder in

ℝ

zurück) =>

z \in R

. Damit ist (R,+) abgeschlossen.
(Mathem.:

\forall r_{1}, r_{2} \in R \exists z \in R : z = r_{1} + r_{2}

)

ad 3) F.d. Null-Elem. (bzg. Addit.) gilt generell: z + z_0 = z. Mit

z_{0} = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

folgt:

z + z_{0} = (\begin{array}{rcl} x & y \\ y & x \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x + 0 & y + 0 \\ y + 0 & x + 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x & y \\ y & x \end{array}) = z

.
Das ist bzw genügt genau d. Def. eines Null-Elements.

ad 4) F.d. Invers-Elem. (bzg. Addit.) gilt:

z + z^{- 1} = z_{0}

. Mit

z^{- 1} = (\begin{array}{rcl} - x & - y \\ - y & - x \end{array})

folgt:

z + z_{0} = (\begin{array}{rcl} x & y \\ y & x \end{array}) + (\begin{array}{rcl} - x & - y \\ - y & - x \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x - x & y - y \\ y - y & x - x \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) = z_{0}

.
Das ist bzw genügt genau d. Def. eines Invers-Elements.

ad 5) Sei wieder

z, r 1, r 2 \in R; x, y, a, b, u, v \in ℝ

, dann gilt:

r_{1} * r_{2} = (\begin{array}{rcl} x & y \\ y & x \end{array}) * (\begin{array}{rcl} a & b \\ b & a \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a x + b y & b x + a y \\ a y + b x & b y + a x \end{array}) \binom{*)}{=} (\begin{array}{rcl} u & v \\ v & u \end{array}) = : z

.
D. letzte Matrix in d. Kette ist genau d. Def. eines Elem. v. R, also gilt offensicht.:

z \in R

, dh. d. Mult. von Matrizen

\in R

führt nach

R

zurück. Das ist wieder genau d. Defin. von "Abgeschlossenh."!
(Mathem.:

\forall r_{1}, r_{2} \in R \exists z \in R : z = r_{1} * r_{2}

)

*) Hier kommt wieder d. Körpereigensch. von (IR,+,x), insbes. d. Abgeschlossenh., zum tragen: D. "norm.", reellen Op. "+" & "x" führen wieder in IR zurück, dh. u & v sind reell.

Damit sind alle Kriter. f.d. Unterring bewiesen; fertig!

D. Aufg. b) muß ich mir wie gesagt noch anschauen. D. Endo-/Isomorph. ist (auch?) mir nicht auf d. 1.Blick einsichtig.. ;(

** Work finish! Zumind. sehr wahrscheinl. Nach MS-Nomenklatur wäre damit d. "RC" (Release Candid.)-Status erreicht.

Hoffe, du kannst Nutzen daraus ziehen. Viel Erfolg!

Bibsel aktiv_icon

21:18 Uhr, 15.01.2014

Hallo,

Physiker lieben Abkürzungen, hm? Wollt das bisher nie so ganz glauben :-D)
Das klingt bei dir auch alles schlüssig, nur muss ich es wohl wirklich einzeln beweisen..
Habe das Gefühl, dass ich für diese Aufgabe wohl echt keinen einzigen Punkt bekomme.
Denn selbst, wenn ich "abschreibe", was du geschrieben hast, wird es meinem Tutor nicht als nachweis reichen und somit wird er es wohl nicht anrechnen...

Ich danke dir trotzdem für deine Mühe :-))
Grüße,
Bibsel

Bibsel aktiv_icon

01:06 Uhr, 16.01.2014

Kurios...
Wieso steht da, die letzte Meldung sei eine Antwort?

aleph-math aktiv_icon

03:45 Uhr, 16.01.2014

Gu. Morgen!

Physiker nehmen's idR. mit mathem. Feinheiten nicht so genau; da wird manches als gegeben angenommen, was streng math. untersucht werden müßte.

Abk. sind nicht unbedingt ein allgem. physik. Phänomen, hab ich mir besond. am Handy, aber auch bei norm. Tastatur angewöhnt, das schont d. Handgelenke u. spart in vielen Fällen d. Shift-Taste.

Beim Lesen wiederum ist d. Bedeutg. meist schon nach wenigen Buchst. klar, d. Rest kann man also sparen. Grad im Dt. sind (über-)lange Wörter ja keine Seltenh., da helfen Abk. glgt. sogar (wurde mir schon bestätigt, besond. von Leuten mit and. Muttersprache).

Aber zurück zur Math.. Ich hab jetzt d. vorh. Beitrag detaillierter ausgeführt, damit sollte vieles klarer u. auch d. Tutor eher zufrieden gestellt sein, immerhin sind d. Matrix-Op. explizit durchgerechnet. Außerd. muß d. Rad ja nicht jedesmal neu erfunden werden, gewisse, unmittelbar einsichtige Annahmen kann man auch so treffen. U. BTW, etwas sollte ja noch zum Selbermachen übrigbleiben ;-)

Gutes Gelingen! -GA

Bibsel aktiv_icon

08:48 Uhr, 16.01.2014

Guten Morgen,

Ich Danke dir vielmals für deine Antwort.
Ich schau es mir nochmal an und versuche den Rest allein zu machen.

:-)

Grüße,
Bibsel

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