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R^2 ohne y-Achse ist offen

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie, Offen, offene menge

Marcell025 aktiv_icon

10:56 Uhr, 07.04.2020

Hallo,

ich suche die grösstmögliche offene Menge in

R^{2},

die die y-Achse nicht enthält

d . h

.
alle Punkte

(x, y)

mit

y = 0

nicht enthält.

Ist

R^{2}

ohne A bereits die Lösung, wobei

A = {(x, y) \in R^{2}

mit

y = 0}

?

Ich habe mir überlegt, dass A wohl abgeschlossen sein müsste. Kann ich daraus folgern, dass

A^{c}

offen ist (vrgl. Definition Abgeschlossenheit)?

Liebe Grüsse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

11:43 Uhr, 07.04.2020

Hallo,

mit

M := ℝ^{2} \ A

hast du vollkommen Recht,
da dies das Komplement der abgeschlossenen Menge

A

ist.
Nun hast du verschiedene Möglichkeiten, die Abgeschlossenheit von

A

oder die Offenheit von

M

zu begründen.

Gruß ermanus

Marcell025 aktiv_icon

15:04 Uhr, 07.04.2020

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Kann ich immer in dieser Weise

(A

ist abgeschlossen in

X,

also ist

X

ohne A offen) argumentieren? Die Definition der Abgeschlossenheit sagt ja nur "A abgeschlossen in

X,

wenn

X

ohne A offen"..

Zudem wäre ich noch froh um einen kleinen Tipp um die Abgeschlossenheit zu zeigen.

ermanus aktiv_icon

15:07 Uhr, 07.04.2020

Ja, die abgeschlossenen Mengen sind die Komplemente der offenen Mengen
und umgekehrt.
Beweis zur Abgeschlossenheit von

A

bzw. Offenheit von

M

kommt gleich.

ermanus aktiv_icon

15:26 Uhr, 07.04.2020

1. Wenn du den Satz, dass die Urbilder offener(abgeschlossener) Mengen unter einer
stetigen Abbildung offen(abgeschlossen) sind, kennst, bist du rasch fertig;
denn

p r_{2} : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \mapsto y

ist stetig (gemäß der Definition der Topologie eines kartesischen Produktes).
Nun ist

A = p r_{2}^{- 1} ({0})

und

{0}

ist abgeschlossen.

2. Wenn du den Satz kennst, dass das kartesische Produkt zweier abgesxchlossener
Mengen abgeschlossen ist, dann kannst du schreiben

A = ℝ \times {0}

. Das ist das kart. Produkt zweier abgeschlossener Mengen.

3. Sei

p = (x, y) \in M

. Dann ist

∣ y ∣ \neq 0

.
Mit

r = \frac{∣ y ∣}{2}

gilt dann, dass die offene Kugel

B_{r} (p)

ganz in

M

liegt. Folglich ist

M

offen.

Gruß ermanus

Marcell025 aktiv_icon

15:49 Uhr, 07.04.2020

Vielen Dank für die sehr hilfreichen Antworten!

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