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Radioaktiver Zerfall, DGL

Schüler

Tags: DGL 1-ter Ordnung

lisaa2222 aktiv_icon

19:21 Uhr, 26.07.2015

In Deutschland werden jedes Jahr

450 t

hochradioaktiver Abfall erzeugt. In diesem befinden sich

17 %

eines Iodisotops mit einer Halbwertszeit von 8 Tagen. Wie lange dauert es, bis

99 %

des Iods zerfallen sind?

Ich tue mich extrem schwer damit die Aufgabe in eine DGL umzuformen, wäre

\frac{d N}{d t} = - λ N

okay? Mit

N =

Menge der radioaktiven Substanz zur Zeit

t, λ =

(Zerfalls)konstante und

\frac{D N}{d t}

die Ableitung. Wenn ich die DGL durch Trennung der Variablen löse erhalte ich:

\frac{d N}{N} = - λ d t

\int_{N_{0}}^{N (t)} \frac{d N}{N} = - λ \int_{t_{0}}^{t} d t

ln (\frac{N (t)}{N_{0}}) = - λ (t - t_{0}) + c_{0}

N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ (t - t_{0})} \cdot e^{c_{0}}

Ich verdattel mich gerade mit den ganzen Konstanten. Wie löse ich das jetzt? Bzw. wie schmeiße ich die ganzen ungewollten Konstanten

(z . B

e^{c_{0}})

da raus?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michael777 aktiv_icon

19:52 Uhr, 26.07.2015

wähle

t_{0} = 0

mit

N (0) = N_{0}

kannst du dann

c_{0}

ausrechnen

lisaa2222 aktiv_icon

20:05 Uhr, 26.07.2015

Mit

t_{0} = 0

wäre die DGL:

N (t) = N_{0} \cdot e^{c_{0}} \cdot e^{- λ t}

N (t) = N_{0} \cdot e^{c_{0} - λ t}

Wenn sich

17 %

nach

t = 8

Tagen im Abfall befinden, dann müsste doch

N (t = 8 d) = 450 t \cdot 0.17 = 76,5 t

sein oder? Wenn ich das einsetze erhalte ich für

c_{0} :

\frac{N (t)}{N_{0}} = e^{c_{0} - λ t}

ln (\frac{N (t)}{N_{0}}) = c_{0} - λ t

c_{0} = ln (\frac{N (t)}{N_{0}}) + λ t

Aber ich habe doch

λ

gar nicht gegeben? Wie soll ich

c_{0}

berechnen?

michael777 aktiv_icon

20:17 Uhr, 26.07.2015

wegen

N (0) = N_{0}

ist

c_{0} = 0

also

N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}

17 %

sind

76,5 t

die Menge des Jods ist aber nicht gesucht
gefragt ist nach der Zeit, nach der nur noch

1 %

Jod vorhanden ist

die Halbwertszeit beträgt 8 Tage, das heißt: nach dieser Zeit hat man noch die Hälfte der Ausgangsmenge
also

N (8) = \frac{1}{2} \cdot N (0),

damit kann

λ

berechnet werden

supporter aktiv_icon

20:23 Uhr, 26.07.2015

Alternative:Es bleibt

1 %

übrig. Die Menge spielt keine Rolle bei der Berechnung. Die Prozentzahlen genügen.

N (t) = N (0) \cdot a^{t}; a =

tägl. Zerfallsfaktor

a = {0,5}^{\frac{1}{8}}

0,01 = a^{t}

t = \frac{ln 0,01}{ln a}

t = 53,15

Tage

lisaa2222 aktiv_icon

20:26 Uhr, 26.07.2015

Dankeschön! :-)

lisaa2222 aktiv_icon

20:28 Uhr, 26.07.2015

Dankeschön! :-)

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