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Radizieren einer komplexen Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Radizieren, Wurzelziehen

The3hadow

22:59 Uhr, 11.05.2011

Anmerkung: Dies soll alles OHNE Taschenrechner berechnet werden.

z = \sqrt{- \frac{7}{4} + 6 i}

Um das Ergebnis für

z

zu bekommen (\\in kartesischer Form), formt man zunächst den Term

(w)

unter der Wurzel in die Euler-Form

(r \cdot e^{i \cdot φ})

um:

w = - \frac{7}{4} + 6 i

r = | w | = \sqrt{{(- \frac{7}{4})}^{2} + 6^{2}} = \frac{25}{4}

φ = a r c tan (\frac{6}{- \frac{7}{4}}) + π = a r c tan (- \frac{24}{7}) + π

\Rightarrow w = \frac{25}{4} \cdot e^{i (a r c tan (- \frac{24}{7}) + π)}

Kommen wir auf die ursprüngliche Gleichung zurück:

z = \sqrt{w} = \sqrt{\frac{25}{4} \cdot e^{i (a r c tan (- \frac{24}{7}) + π + 2 \cdot k \cdot π)}} = \frac{5}{2} \cdot e^{i \frac{1}{2} (a r c tan (- \frac{24}{7}) + π + 2 \cdot k \cdot π)}, k = 0,1

Jetzt kommt die Stelle, die mir Schwierigkeiten bereitet. Ich möchte jetzt nämlich aus der Euler-Form wieder die kartesische Form machen. Dazu wandel ich diese erst einmal in die Polarform um:
Polarform allgemein:

z = r \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

r = \frac{5}{2}

Für

k = 0

haben wir

z . B . :

φ = \frac{1}{2} (a r c tan (- \frac{24}{7}) + π)

\Rightarrow z_{0} = \frac{5}{2} \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

\Leftrightarrow z_{0} = \frac{5}{2} \cdot (cos (\frac{1}{2} (a r c tan (- \frac{24}{7}) + π)) + i \cdot sin (\frac{1}{2} (a r c tan (- \frac{24}{7}) + π)))

Und jetzt muss ich diesen Term ohne Taschenrechner vereinfachen, so dass am Ende eine Gleichung in der Form z=x+iy rauskommt. Ich habe keine Ahnung, wie ich das tun soll.

Vielen Dank für die Antworten im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

23:36 Uhr, 11.05.2011

Nach einigen völlig lächerlich trivialen trigonometrischen Umstellungen kommt man ohne Rechnerunterstützung bereits innerhalb weniger Wochen zu folgenden Formeln, die gleichwohl mit absoluter Leichtigkeit weiterzubearbeiten sein sollten:

s i n (\frac{a r c t a n (x)}{2}) = \frac{x}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x^{2} + 1} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}}

c o s (\frac{a r c t a n (x)}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}}{\sqrt{2}}

The3hadow

13:11 Uhr, 12.05.2011

Genau so etwas brauch ich nicht. Ich glaub nicht, dass der Sinn von diesem Forum ist, sein mathematisches Können zu beweisen. Ich habe geschrieben, dass ich da nicht weiter komme und was präsentierst du mir als nächsten Schritt? "mach doch ein paar lächerliche Umformungen"

\to

Das ist das, was mich interessiert und du überspringst das einfach.
Also komm mal bitte von deinem hohen Ross herunter und erklär mir das Schritt für Schritt - so wie ich es erbeten habe - oder lass es sein.

pleindespoir aktiv_icon

14:56 Uhr, 12.05.2011

Entschuldige meinen Zynismus - es ging nicht gegen Dich, sondern betrifft vielmehr die Aufgabenstellung.

"innerhalb weniger Wochen"

sollte ein Hinweis dafür sein, dass das Ding meiner bescheidenen Meinung nach nicht ohne Rechnerunterstützung vernünftig in den Griff zu bekommen ist.

Die einzige Hoffnung wäre ein Winkel gewesen, der nahe bei den gängigen Standardwerten liegt, so dass man auf die algebraische Umformung verzichten könnte.

Allein auf das zu kommen, was ich oben gepostet habe, geht über das hinaus, was man von einem Schüler erwarten kann.

Mit dem komplizierten Müll mit Kehrwerten unter mehrfachen Wurzeln noch weiterzurechnen ist ohne Rechner auch kaum vernünftig zu bewerkstelligen.

---

In aller Bescheidenheit muss ich einräumen , dass sogar ich manchmal was übersehe (Vorsicht, Ironie), so dass es vielleicht doch noch Hoffnung auf eine Lösung geben könnte.

Mal sehen, was der Abend noch so bringt - vielleicht hat einer der Kollegen noch ne Idee ...

The3hadow

17:49 Uhr, 12.05.2011

Ach, so meintest du das. :-D)
Na dann ist ja alles okay. xD

Was die Aufgabe betrifft, habe ich folgendes gefunden, was vielleicht nützlich sein könnte:

Für

cos (x) :

1 + {tan (x)}^{2} = \frac{1}{{cos (x)}^{2}}

\Leftrightarrow cos (x) = \sqrt{\frac{1}{1 + {tan (x)}^{2}}}

\Rightarrow cos (a r c tan (x)) = \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}

Aber ich kann hier bloß

- \frac{24}{7}

für

x

einsetzen. Benutzen muss ich aber

\frac{1}{2} \cdot (a r c tan (- \frac{24}{7}) + π) \Rightarrow cos (\frac{1}{2} \cdot (a r c tan (- \frac{24}{7}) + π)

...und das hier ist alles nur ein Teil der Aufgabe, die vollständige lautet:

z^{2} + (- 13 + 10 i) z + 19 - 71 i = 0, z \in ℂ

Mit Hilfe der p-q-Formel kommt man auf:

z_{1,2} = \frac{13}{2} - 5 i \pm \sqrt{- \frac{7}{4} + 6 i}

Ab hier komm ich nicht weiter.

pleindespoir aktiv_icon

16:18 Uhr, 13.05.2011

mit der pq-Formel wird das wohl kaum gut laufen, weil sonst diese schrecklichen trigonometrischen Umkehrfunktionen den Spass verderben.

Vielleicht klappt es mit der quadratischen Ergänzung besser - muss ich nachher mal probieren.

pleindespoir aktiv_icon

17:05 Uhr, 13.05.2011

...und das hier ist alles nur ein Teil der Aufgabe, die vollständige lautet:

z^{2} + (- 13 + 10 i) z + 19 - 71 i = 0, z \in ℂ

was man vielleicht besser so ansetzen sollte:

z = (a + b i)

(a + b i)^{2} + (- 13 + 10 i) (a + b i) + 19 - 71 i = 0

fertig ausmultiplizieren und vereinfachen, bis nach a und b aufgelöst werden kann.

rundblick aktiv_icon

17:47 Uhr, 13.05.2011

für welche

z

ist

z^{2} = - \frac{7}{4} + 6 i = \frac{25}{4} \cdot (- \frac{7}{25} + \frac{24}{25} \cdot i)

ohne TR .. aber eine Formelsammlung ist erlaubt ? oder?

Mein Vorschlag:

Ansatz:

z = r \cdot (cos (\frac{φ}{2}) + i \cdot sin (\frac{φ}{2}))

also:

z^{2} = r^{2} \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

durch Vergleich

\to

r^{2} = \frac{25}{4} . .

. also

r = \frac{5}{2}

cos (φ) = - \frac{7}{25}

nun ist : aus Formelsammlung - oder durch eigene kurze Herleitung:

{sin}^{2} (\frac{φ}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (1 - cos (φ)) = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{7}{25}) = \frac{16}{25} .

. also zB->

sin (\frac{φ}{2}) = \frac{4}{5}

und

{cos}^{2} (\frac{φ}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (1 + cos (φ)) = \frac{9}{25} .

. also zB->

cos (\frac{φ}{2}) = \frac{3}{5}

womit dann eine der möglichen Lösungen für

z

so aussieht:

z = \frac{5}{2} \cdot (\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot i) = \frac{1}{2} \cdot (3 + 4 i)

usw..

ok?

The3hadow

14:41 Uhr, 14.05.2011

Vielen Dank euch beiden! Jetzt hab ich's. :-)

Auf diesen Vergleich wäre ich ja nie im Leben gekommen. xD

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