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Ränge, Kern, Bild
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 17:14 Uhr, 01.06.2005  |
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Hallo, bitte bitte helft mir dringend mit den zwei kleinen Aufgaben: Gegeben seien A e R mxn, m,n e N. Zeige: a) Rang AtA = Rang A b) R m = ImA verknüpft Kern At (A transponiert). |
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anonymous 20:33 Uhr, 01.06.2005 |
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Hallo, Zumindest bei der a) kann ich dir helfen. b) verstehe ich nicht... (so notationsmäßig :) ) Sei r:= rg A Dann lässt sich A durch elementare Zeilenumformungen auf eine Matrix bringen, wo links oben die Einheitsmatrix E_r (r ist der Rang!) auftaucht und der Rest alles Nullen sind. Der Rang bleibt dabei unverändert! Nennen wir diese Matrix mal B. Da rg A = rg A^t gilt, lässt sich auch A^t auf die Form B bringen. Also ist rg (A*A^t) = rg (B*B). Und dann ist natürlich B*B = B, wie man sich leicht überlegen kann. Es gilt also: rg (A*A^t) = rg(B*B) = rg(B) = rg (A) Fertig. :) |
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anonymous 21:15 Uhr, 01.06.2005 |
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Vielen vielen Dank little helper, also die b) anders geschrieben: Rm = ImA * Kern At (der reelle m-dimensionale Raum)= (Bild von A) verknüpft mit ( Kern von A transponiert). Kann mir da nochmal jemand helfen? |
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anonymous 22:43 Uhr, 01.06.2005 |
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Oh mein Gott. Ich hatte zuviel mit Endomorphismen zu tun in letzter Zeit... Ich habe gar nicht berücksichtigt, dass A gar nicht quadratisch sein muss. Das macht natürlich ziemlich viel, wenn nicht sogar alles kaputt... Tut mir Leid!!! Ich denke noch mal drüber nach... |
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anonymous 23:10 Uhr, 01.06.2005 |
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OK, der Weg an sich war offenbar doch nicht so falsch. Also noch mal: r ist der Rang. Dann lässt sich A auch wirklich auf die Form bringen, die ich ansprach (mit E_r links oben), wobei es natürlich eine m x n Matrix bleiben muss. Nennen wir sie B. Dann lässt sich A^t zwar nicht zur selben Matrix umformen (falls n /= m), da es ja eine n x m Matrix ist. A^t lässt sich aber auch auf diese Form bringen, nur dass es eben eine n x m Matrix ist. Nennen wir diese dann B'. B*B' ist dann eine quadratische Matrix die wieder E_r links oben enthält und der Rest sind Nullen. (ich denke, dass kann man einfach so behaupten und muss es nicht beweisen.) Der Rang davon ist offensichtlich auch r. Also gilt: rg(A*A^t) = rg(B*B') = r = rg(A) Diesmal bin ich vorsichtiger und sage, es ist ohne Gewähr. ;) (Bin mir aber schon recht sicher) |
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