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Rätsel 999 stellige Zahl mit Potenzrechnung...
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 17:56 Uhr, 17.03.2004  |
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In einem Rätselbuch aus der Schulbiblio hab ich heut ein interessantes Beispiel entdeckt! Die Zahl m = 999...9 wird mit 999 Neunern geschrieben. Was ist die Ziffersumme von m²? A) 8982 B) 8991 C) 9000 D) 9009 E) 9018 Ich probier jetzt schon ewig herum, bin aber auf noch nichts gescheiteres gekommen wie das hier: wenn man z.B. 9999*9 nimmt bekommt man: 89991 * 9 809919 * 9 irgendwie muss man da in ein System kommen. Ich kapier nicht ganz wie. Hat von euch vielleicht jemand eine Idee? Danke Schönen Tag Dennis |
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anonymous 18:17 Uhr, 17.03.2004 |
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wenn du ne zahl mit ner 9 als letzte stelle quadrierst ist die letzte ziffer des produktes immer ne 1. 259^2 is z.b. 67081 129^2 is 16641 usw. kann dan nur b (?) sein... |
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Hallo, @Hugo: Es ging hierbei nicht um die letzte Ziffer von m²=999...999², sondern um die Ziffernsumme von m², also, mit anderen Worten, die Quersumme von m². Falls du diese irgendwie ausgerechnet hast mit einem gewissen Produkt und dieses meintest, so tut es mir leid, aber an deiner Antwort kann ich nur herauslesen: 999...999² hat als letzte Ziffer die 1. Von der Ziffernsumme (insbesondere nach welcher Methode du die berechnest) ist bei dir nirgends die Rede; die Aufgabe will aber gerade die Quersumme von m² wissen, und nicht, welche die letzte Ziffer von m² ist (das wird nirgends gefragt). Hierauf wollte ich nochmal hinweisen... Das Witzige ist: Es ist dennoch die Antwort B), die richtig ist. Falscher Weg, richtiges Ergebnis ;-) @Dennis: Suchen wir mal nach einem System: Die Quersumme (das ist ein anderes Wort für Ziffernsumme, ich benutze dies einfach lieber) bezeichne ich mit QS: QS(9²)=QS(81)=8+1=9=9*1 QS(99²)=QS(9801)=9+8+0+1=18=9*2 QS(999²)=QS(9998001)=9+9+8+0+0+1=27=9*3 QS(9999²)=QS(99980001)=9+9+9+8+0+0+0+1=9*4 . . . Offenbar: (I) QS(99...9²)=9*n, wobei n: Anzahl der Stellen der Zahl 99..9 (also: 99..9 soll aus n Ziffern bestehen, oder mit den Worten aus dem Buch: 99..9 wird mit n Neunern geschrieben!) (warum die Formel (I) gilt, darüber habe ich mir keine Gedanken gemacht. Ehrlich gesagt, glaube auch ich einfach mal "blind" dran, vielleicht erkennt man es durch geschicktes ausrechnen solcher Zahlen(?); um eine solche Uhrzeit ist es mir aber auch egal, und deshalb will ich es auch gar nicht beweisen... ;-) [Nur zur Plausibilität: Wenn du oben nachguckst: 9²=81 99²=9801 999²=9998001 9999²=99980001 Vorne wird bei dem Quadrat der Zahl immer eine 9 drangehangen (bei einer Ziffer (gemeint ist die Ziffer 9) mehr) und es kommt eine 0 dazu (ich hoffe, man kann verstehen, wie ich diesen Satz meine; mir gefällt hier meine eigene Formulierung nicht wirklich). Schau dir einfach an, wie die Zahl (ohne ²) links vom "="-Zeichen aussieht und wie (die zugehörige Quadratzahl) dann (ausgerechnet) rechts vom "="-Zeichen aussieht. Deshalb ist die folgende Quersumme immer um 9 größer. Einen "wirklichen" Beweis würde man über Induktion führen. Da du dies aber vermutlich eh nicht kennst, erspare ich dir (und mir) dieses ;-) ] Gemeint ist damit: 9 hat 1 Stelle und QS(9²)=9*1 99 hat 2 Stellen und QS(99²)=9*2 999 hat 3 Stellen und QS(999²)=9*3 9999 hat 4 Stellen und QS(9999²)=9*4 . . . Ich hoffe, es ist klar, wie ich das meine... Damit hast du also (wenn 999...999 für diese 999-stellige Zahl steht): QS(999...999²)=9*999 (denn 999...999 hat ja 999 Stellen, somit brauchst du in der Formel (I) nur n=999 einzusetzen!) und du berechnest 9*999=8991, also: QS(999...999²)=8991 Obwohl es hier also um etwas anderes geht als die letzte Ziffer von 999...999² (denn die Frage war ja nach der ZIFFERNSUMME), ist es in der Tat die Antwort B), die richtig ist (wenn man an die Formel (I) glaubt oder sie beweist), die auch Hugo vorgeschlagen hat... Bemerkung: Die Zahl m=999...9 habe ich in meinen Ausführungen stets geschrieben als 999...999 Viele Grüße Marcel |
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anonymous 04:28 Uhr, 18.03.2004 |
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oder in einer Zeile: Du sollst 999 Neunen addieren, also 999*9 und das sind eben 8991 ;-) |
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anonymous 04:31 Uhr, 18.03.2004 |
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| ähm, vergeßt bitte was ich gerade geschrieben habe, bin etwas müde um halb 5 Uhr. Ich hab nur m, nicht m² gelesen ;-) | |
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Marcels richtige Vermutung ist ganz einfach einzusehen: Unformalisiert und einem Beispiel: (999999)^2 = (1000000 - 1)^2 = 1000000000000 - 2000000 + 1 = 999998000001 und diese Zahl hat als Quersummen 6*9. Allgemein lässt sich damit Marcels Vermutung ganz leicht (auch ohne Induktion) beweisen. Man schreibt dann 9 \cdot \sum_{i=0}^n 10^i = (10^n -1)^2 = 10^(2n) -2\cdot 10^n + 1 = 10^n \cdot (10^n - 2) + 1 = 10^n \cdot (8 + 9 \cdot \sum_{i=1}^n 10^i) + 1 und Quersumme(10^n \cdot (8 + 9 \cdot \sum_{i=1}^n 10^i) + 1) = 8 + 9(n-1) + 1 = 9n. Liebe Grüße Stefan www.matheraum.de |
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Hallo, Danke, dass du meine Vermutung bewiesen hast. Heute Nacht um 2.30Uhr war mir das aber nicht klar, deshalb kam ich auf die Idee mit der Induktion (die auch gehen sollte). Jetzt wollte ich zwar gerade anfangen, mir Gedanken zu machen, ob es nicht einfacher geht, aber diese Arbeit hast du mir ja schon abgenommen ;-) Ich füge deine Formel nochmal mit dem Formeleditor an: und damit Viele Grüße Marcel |
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Hallo Marcel! Ich habe heute über die Notwendigkeit der Induktion auch nachgedacht und habe mit der Arbeit an diesem Problem begonnen, aber ich sehe, dass du es schneller als ich geschaffen hast. Jederfällig: jetzt kann auch ich besser schlafen. Ich warte schon auf ein nächstes Problem, das hoffentlich auftaucht. Dieses Forum ist manchmal wie ein Wettkampf; wer schafft eigentlich diese oder andere Aufgabe schneller? Und das ist doch das schönste drauf. Viele Grüße Marian. |
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Hallo Marian, nein, Stefan war noch schneller als ich ;-) Viele Grüße Marcel |
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Hast du dort nicht einen kleinen Fehler? Genauer: |
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Ja, sorry und Danke, die Argumentation bleibt aber die gleiche. Stefan |
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Hallo, ich hoffe, dass ich das jetzt richtig korrigiert habe in dem Thread von 15:00:44 Uhr. Wenn noch irgendwo Fehler sind, dann mailt mir die bitte (ich kann meine Antworten stets nachbearbeiten); ich denke, wir müssen das nicht unbedingt hier diskutieren. Falls ihr anderer Ansicht seit, ist das auch kein Problem, dann diskutieren wir halt etwas weiter ;-) Viele Grüße Marcel |
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