 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Rätsel
Rätsel
Universität / Fachhochschule
Tags: Übriges
 
|
anonymous 13:26 Uhr, 29.08.2006  |
|
|---|---|
|
Hallo, ich habe heute morgen eine Aufgabe von meinem Chef bekommen, die ich zu lösen habe. Ich sitzte schon ne ganze Zeit lang davor, vielleicht könnt ihr mir weiter helfen. Aufgabe:In einem Schwimmbad kostet der Eintritt für Rentner 3,00 Euro für Erwachsene 2,00 und für Kinder 0,50 Euro.In 30 Tage werden 30 Euro eingenommen,wieviel Rentner, Erwachsene, Kinder waren es insgesamt in den 30 Tagen??? Es sollen 3 Lösungen rauskommen.Und diese brauche ich am besten mit Rechenweg!!! VIELEN DANK im voraus :-) |
|
| |
 |
|
|
ich nenne die anzahl an Rentern x, Erwachsene y und Kinder z. dann gilt 3x+2y+1/2*z=30 normalerweise ist eine solche gleichung mit 3 variablen, nur mit 3 gleichungen eindeutig lösbar. da es aber keine weiteren bedingungen gibt geht dies nicht ohne weiteres, allerdings gibt es anhand der aufgabenstellung einschränkungen für die lösungen. die lösungen müssen ganzzahlig positiv sein. damit handelt es sich um eine sogenannte diophantische gleichung zum lösen einer diophantischen gleichung müssen alle koeffizienten in ganzzahliger form vorliegen. 1/2 ist leider rational. deshalb multipliziere ich die gleichung mit 2 6x+4y+z=60 ich lös es erstmal in der allgemeinen form ax+by+cz=d die diophantische gleichung hat genau dann lösungen wenn ggT(a,b,c) teiler von d ist es muss also ggT(6,4,1) teiler von 60 sein. ggT(6,4,1)=2 was teiler von 60 ist also hat die gleichung lösungen musst du mit komplizierteren zahlne den ggT ausrechnen kannst du den euklidischen algorithmus verwenden. es gilt nämlich ggT(a,b)=ggT(a-b,b) unsere diophantische gleichung hat jetzt 3 unbekannte ich löse erstmal eine mit 2 unbekannte, da man gleichungen mit 3 unbekannten auf gleichungen mit 2 unbekannte zurückführen kann. ohne großartige herleitungen es gilt dabei ist t eine beliebige ganzzahlige zahl x0 und y0 sind partikuläre lösungen der gleichung. diese partikuläre lösung erhält man entweder durch probieren oder durch den euklidischen algorithmus es ist ggT(a,b)=au+bv ggT(a,b)=ggT(a-vb,b) genaueres dazu kannst du hier nachlesen http//de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus um deine gleichung mit 3 unbekannten auf eine mit 2 unbekannten zu reduzieren substitutierst du in ax+by+cz=d by+cz=eu dabei ist e=ggT(b,c) u ist eine variable ax+eu=d dies kannst du nach herkömmlicherweise lösen mal sehen ob du diese knappe erlärung soweit verstanden hast |
|
|
|
|
|
ich hab es jetzt durchgerechnet eine mögliche lösung sieht in etwa so aus x=10+t1 y=t1+t2 z=-(10t1+4t2) es gibt zwei beliebig zu wählende ganzzahlige parameter hier kommt die bedingung ins spiel, dass die lösungen alle positiv sein müssen z ist nur dann positiv wenn 10t1+4t2<=0 ist ebenso muss 0<=t1+t2 erfüllt sein es muss auch 10+t1>=0 sein dadurch kann man verschiedene einschränkungen machen z.B dass t1<=10 sein muss oder es muss t2<=22 sein jedenfals solltest du durch ein paar überlegungen. die richtigen lösungen erhalten. es gibt nämlich mit sicherheit nur endlich viele lösungen |
|
|
|
|
|
Das ist zwar nett, aber verstanden hab ich es nicht!!! Gehts nicht vielleicht ein bisschen genauer? Kann man es nicht ganz normal nach Gleichungen auflösen? MFG :-) |
|
|
|
|
|
das problem ist ja, dass du nur eine gleichung mit 3 variablen hast wenn du bei der gleichung 3x+2y+1/2*z=30 die reellen zahlen zulässt, so gibt es unendlich viele lösungen. da es aber keine 2,4 kinder oder -5 erwachsene gibt sind nur positiv ganzzahlige zahlen zulässig. diese einschränkung macht es so schwierig es exakt mathamtisch zu lösen. ich wüsste keine andere möglichkeit als diophantos. hättest du weitere bedingungen , so dass du 3 gleichungen hättest könnte man das über die herkömmliche algebra lösen. achja ggT bedeutet übrigens größter gemeinsamer teiler, falls du das nicht wusstest. eine alternative wäre es einfach auszuprobieren. achja ist es eigentlich zulässig, dass von einer oder zwei sorten 0 personen da waren, ansonten gebe es mehr lösungen als 3. z.B wäre eine lösung 0Kinder 0Renter und 15 erwachsene ist das zulässig? ansonsten wäre eine lösung z.B 5Rentner, 5Erwachsene und 10 Kinder |
|
|
|
|
|
achja darf ich mal fragen, was du beruflich machst, dass dein chef dir so eine frage stellt? Auf was für eine schule bist du gegangen, damit ich weiß wie gut du mit der mathematik vertraut bist. also Haupt-, real oder gym |
|
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
466760
466755