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Randdichten bei mehreren Zufallsvariablen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Randdichten, Randverteilung, Zufallsvariablen

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10:39 Uhr, 28.11.2023

Moin,

unser Prof hat uns mal wieder mit einer schönen Aufgabe versorgt, bei der eine Kommilitonen und ich nur Probleme haben.

Ich bin erstmal an die

d)

herangegangen und habe die Dichtefunktion bestimmt. Dafür habe ich die Verteilungsfunktion erst nach

x

und dann nach

y

abgeleitet. Dabei bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:

s

. Bild

Für die Randdichte

X

habe ich diese Dichtefunktion dann nach

y

integriert (mit Grenzen 0 bis

1)

. Dabei komme ich nicht weiter, weil es irgendwann einfach nur noch falsch aussieht.

Falls jemand ein paar Hilfestellungen hat, wäre ich sehr dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:10 Uhr, 28.11.2023

An sich ist die Reihenfolge der Teilaufgaben, wie sie die Aufgabe vorgibt, ganz vernünftig gewählt.

a)

F_{X} (x) = lim_{y \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = {\begin{array}{ll} 0 & für x \leq 0 \\ x & für 0 < x \leq 1 \\ 1 & für x > 1 \end{array}

F_{Y} (y) = lim_{x \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = {\begin{array}{ll} 0 & für y \leq 0 \\ y & für 0 < y \leq 1 \\ 1 & für y > 1 \end{array}

Beides sind stetige Gleichverteilungen auf

[0, 1]

.

b) Für Unabhängigkeit müsste gelten

F_{X, Y} (x, y) \overset{?}{=} F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y)

für alle

x, y

. Für

x = y = \frac{1}{2}

ist das offenbar nicht der Fall.

c) Die Verteilungsfunktionen aus a) ableiten. Wenig überraschend kommt dabei jeweils die Dichte der Gleichverteilung auf

[0, 1]

heraus.

d)

f_{X, Y} (x, y) = \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} F_{X, Y} (x, y)

bestimmen. Das ist die einzige Stelle in der gesamten Aufgabe, wo man mal WIRKLICH etwas rechnen muss.

e)

f_{X ∣ Y} (x, y) = \frac{f_{X, Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

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19:48 Uhr, 28.11.2023

Vielen Dank!

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