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Randwerte als lokale Extrema
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionalanalysis
Funktionen
Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis
 
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Wir haben in unserem Skript folgende Definition von lokalen Extrema: (siehe Anhang) Aber sind so nicht jedes Mal wenn ich eine Funktion auf einem geschlossenen Intervall definiere die Intervallgrenzen lokale Extrema oder verstehe ich da etwas falsch?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Hallo, für "normale" stetige Fuktionen scheint deine Aussage plausibel. Betrachte aber folgende Funktion , . Diese ist stetig, besitzt aber im linken Randpunkt kein lokales Extremum. Gruß ermanus |
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Okay das stimmt natürlich. Aber so lange die Funktion stetig ist reicht es das Monotonie-Verhalten zwischen Randwert und der nächsten lokalen Extremstelle zu betrachten, um festzustellen ob ein lokales Maximum/Minimum vorliegt, richtig? |
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Es reicht, dass sich in einer Umgebung des Randpunktes die Funktion monoton verhält. |
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Oh damit gilt dass das Montonieverhalten zwischen Extremstellen unverändert bleibt muss gelten dass die Funktion nicht nur stetig sondern auch diffbar ist, richtig? |
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Das habe ich jetzt nicht weiter überlegt. Aber eins noch: das Monotonieverhalten in der beliebig kleinen Umgebung eines Randpunktes ist nicht notwendig für das Vorliegen eines lokalen Extremums. Betrachte hierzu die Funktion mit dem von eben. Dieses ist in jeder Umgebung von nichtmonoton; dennoch liegt bei ein lokales Minimum vor. Gruß ermanus |
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War auch ein bisschen schlecht von mir formuliert, ich meinte eher so lange die Funktion diffbar ist kann ich mich darauf verlassen dass die Ableitung an einer beliebigen Stelle zwischen nächster lokaler Extremstelle (im Intervall) und Intervallgrenze mir das Monotonie-Verhalten an der Intervallgrenze verrät, weil jede Änderung des Verhaltens einen neue nächste Extremstelle bedeutet. Danke für die Hilfe |
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Nun, selbst wenn die Funktion diffbar ist, warum sollte die Ableitung in einem Randpunkt sich nicht genauso bizzar verhalten wie unser ? So, nun bin ich offline (Hunger!!). War ein sehr interessantes Proiblem :-) Gruß ermanus |
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anonymous 19:35 Uhr, 15.04.2020 |
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Bei über einem abgeschlossenen Intervall stetigen Funktionen sind die Randwerte immer lokale Extremwerte - deshalb müssen sie zum Auffinden der (globalen) Extrema immer mit den "inneren" lokalen Extrema verglichen werden. |
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Hallo irrsinn07, hast du meinen Beitrag von 18:23 Uhr nicht gelesen ? :( |
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Hallo beyondFOX, wenn alles klar ist, bitte abhaken ! |
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anonymous 06:30 Uhr, 16.04.2020 |
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ups... ermanus, du hast natürlich recht: auch ich hatte "normale" stetige Funktionen im Hinterkopf (also solche, die an den Rändern einseitig diff´bar sind). Entschuldigung! |
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Hallo irrsinn07, kein Problem :-) Bei solchen "unnormalen" Funktionen spielt einem die Anschauung gerne mal einen Streich. Übrigens: Diffbarkeit reicht auch nicht aus. Betrachte mein für in abgewandelter Form: , 0 für . Diese Funktion ist in ganz diffbar. Gruß ermanus |
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