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Rang, Defekt und Kern einer linearen Abbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Abbildung, Charakteristik, defekt, Kern, Linear, Linear Abbildung, Matrix, Rang

 
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Marialr99

Marialr99 aktiv_icon

15:56 Uhr, 09.12.2018

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Hallo! Meine Frage lautet:

Es seien V ein drei-dimensionaler K-Vektorraum und {v1,v2,v3} eine Basis von V . Ferner
sei ϕ: V → V die durch
ϕ(v1) :=v1+v2+v3, ϕ(v2) :=v1 − 2v2+v3, ϕ(v3) :=v1+3v2+v3
denierte lineare Abbildung. Berechnen Sie Rg ϕ und Def ϕ. Bestimmen Sie außerdem eine
Basis von Kern ϕ. Beachten Sie dabei die Abhängigkeiten von der Charakteristik von K.

Meine Lösung bisher:
Seien a.b.c aus dem Körper. Dann gilt (um den Kern zu berechnen):

ϕ (V) =0
ϕ (V) = ϕ( a⋅v1+b⋅v2+c⋅v3)=0 also ϕ (V) =a⋅(v1+v2+v3)+b⋅(v1 − 2v2+v3)+c⋅(v1+3v2+v3)

Dann habe ich ein Gleichungssystem aufgebaut:

Z1:a+b+c=0
Z2:a-2⋅b+3⋅c=0
Z3:a+b+c=0

Ich rechen Z2-Z1 und Z3-Z1 und komme auf:

a+b+c=0
-3⋅b+2⋅c=0
0+0+0=0

Dann muss ich ja die Charakteristik von K beachten also setze ich

Fall 1 Charakteristik=3 s.d. 3=-3=0. Dann gilt:

a+b+c=0
0⋅b+2⋅c=0
0+0+0=0

Es folgt daraus, dass c=0 und a=-b und b=-a

Dann habe ich eine Lösungsmenge von L={-b,-a,0} was ja auch gleich den kern sein sollte, oder?

Jetzt weiß ich aber nicht wie ich den Rang und Defekt berechnen soll.
Ich weiß zwar das Def=dimension vom Kern aber ich weiss nicht wie ich weiter machen soll. Wäre über jede Hilfe sehr dankbar!

PS: ich weiß ich müsste dann noch Charakteristik 2 und Charakteristik ohne 2,3 berechnen





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