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Rang, Komposition von Linearen Abbildungen.

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Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

Hilbert aktiv_icon

13:37 Uhr, 18.12.2011

Seien $V, W, U$ Vektorraeume ueber $K$ und seien $r, n, m$ Natuerliche Zahlen mit $r \leq min (m, n)$ . Wie konstruiert man Lineare Abbildungen $f : V \to W, g : W \to U$ mit rang $R a n g (g \circ f) = r, R a n g (g) = m, R a n g (f) = n$ ?
Danke

hagman aktiv_icon

19:36 Uhr, 19.12.2011

Im allgemeinen ist das nicht möglich, beispielsweise wäre es fatal, wenn

dim V < n

oder

dim U < m

oder

dim W < m + n - r

wäre.

Wenn wir abweichend von der Aufgabenstellung uns auch die Räume

V, W, U

nach eigenem Gutdünken wählen können ist es dagegen einfach.
Sei

A = K^{r}, B = K^{n - r}, C = K^{m - r}, U = A \oplus C, V = A \oplus B, W = A \oplus B \oplus C

und seien

f, g

die naheliegenden Abbildungen

(a, b) \mapsto (a, b,0)

bzw.

(a, b, c) \mapsto (a,0, c),

also

g \circ f : (a, b) \mapsto (a,0)

Hilbert aktiv_icon

23:09 Uhr, 19.12.2011

Danke für die Antwort. Ich hätte voraussetzen müssen das die Dimensionen der Vektorraüme größer als die gewünschten ränge. Die Vektorraüme sollen beliebig seien, nur die Abbildungen darf man sich aussuchen.

hagman aktiv_icon

11:14 Uhr, 20.12.2011

Dass

dim V \geq n

und

dim U \geq m

sein muss, dürfte hierbei noch recht naheliegend sein.
Die Bedingung

dim W \geq n + m - r

ergib sich daraus, dass

W

in der Lage sein muss, die Dimensionen

n

und

m

"unterzubringen" und trotzdem alles Überflüssige bei der Komposition zu "verstecken". Genauer könnte man mit der Formeln für die Dimension des Kerns argumentieren, aber wahrscheinlch reicht das explizite Beispiel oben, das man ja notfalls in beliebige (hinreichend große) andere Vektorräume

V, W, U

transportieren kann.

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