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Rang, Matrixmultiplikation etc.
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
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Hallo zusammen, folgende Aufgabe bereitet mir gerade etwas Kopfzerbrechen: Es sei eine Matrix mit . Außerdem sei . die Einheitsmatrix. Ich soll zeigen: mit rang(A) Kann mir jemand einen TIpp geben, wie man da herangeht? Welche Richtung ist denn die einfachere? Wenn rang(A) dann heißt das doch, dass A (umgewandelt) in Stufenform keinen Nullvektor hat, oder? Hilft mir dieses Wissen irgendwie weiter? Ich bin momentan ziemlich ratlos. |
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Kennst du einen Satz, der etwas über Ränge und Matrizenmultiplikation aussagt? Dann ist die Richtung ziemlich schnell gemacht. Edit: Mein Ansatz für die Rückrichtung ist nicht ganz so schön, vielleicht hat jemand nen besseren, aber ich stell den hier mal mit rein: Man kann Matrixmultiplikation als Linearkombination von Zeilen bzw. Spalten interpretieren (evtl. muss man da noch was transponieren, damit das hinhaut). Mit linear unabhängigen Vektoren (folgt aus Rang können wir den vollständig erzeugen, also insbesondere auch die Einheitsvektoren. |
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Mir fallen diverse Ungleichungen ein . Sylvester), aber ich bin nicht sicher, ob die hier weiterhelfen. |
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Die Ungleichung die mir dazu sofort einfällt wäre Rang(A*B) minRang(A),Rang(B)} die wird auch Teilweise als Ungleichung von Sylvestre geführt. Wende das mal auf deine Aufgabe an. Die Rückrichtung ist wie gesagt nicht so schön, aber wenn du möchtest wäre das hier meine Idee: Also Rang(A) hat Spalten mit jeweils Elemente. Da Rang(A^T) gibt es eine Familie von lnear unabhängigen Spalten. Das Multiplizieren mit einer Matrix entspricht jetzt dem linear kombinieren dieser Spalten zu neuen Spalten, die dann die Ergebnissmatrix bilden. Da die Spalten von Elemente des sind und es linear unabhängige Spalten gibt, biden die Spalten von ein Erzeugendensystem des (nur die linear unabhängigen Spalten wären eine Basis, die zusätzlichen Spalten zersören die lineare Unabhängigkeit, aber nicht die Erzeugendeneigenschaft). Wenn nun also die Spalten von ein Erzeugendensystem von bilden ist es möglich durch Linearkombinieren (bzw. Multiplizieren mit jeden Vektor des zu bilden, insbesondere also die Einheitsvektoren . Folglich muss es eine Matrix geben, sodass . |
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Aber über die Ränge von A und weiß ich doch gar nicht, außer, dass sie kleiner gleich sind, oder? Und rang( rang( Hilft mir das irgendwie weiter? |
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Rang Rang Rang Rang Rang . Da steht also Rang (A) Rang (A) . Zur Rückrichtung: Die Matrix kann man genau angeben. Sind mit so setze . Dann gilt . |
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"m= Rang (Cm)= Rang (A⋅B)≤min Rang Rang (B)≤ Rang (A)≤m." Oh, stimmt ja! Das war ja gar nicht so schwierig. Eine blöde Frage noch: Wäre es möglich, dass sich rang(B*A) und rang(A*B) unterscheiden? Eure Ideen zur Rückrichtung habe ich nachvollziehen und verstehen können. Ich denke, das muss mir erst mal reichen. Von selbst darauf gekommen, wäre ich wohl nicht - auch wenn es logisch aussieht, wenn man die Lösung sieht. Und noch eine Frage: Angenommen es gibt dieses mit . Gilt dann auch ? |
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Wenn dann ist sogar Rang Rang . Das gilt aber allgemein nicht. In meinem letzten Post wollte ich eigentlich Rang schreiben. Die Antwort auf deine Frage folgt wieder aus der Ungleichung Rang Rang Rang |
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Stimmt, inzwischen ist mir schon einiges klarer! Vielen Dank! |
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