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Rang einer Matrix = Anzahl lin. unabh. Vektoren
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra, Matrix, Vektorraum
 
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Hallo, kann mir jemand erklären, warum der Rang einer Matrix der Anzahl linear unabhängiger Vektoren entspricht? Ich verstehe, dass ich die Unabhängigkeit von Vektoren prüfen kann, indem ich sie in ein homogenes Gleichungssystem überführe. Wenn dann der Rang der Koeffzientenmatrix der Anzahl der Vektoren ist, kann es nur die triviale Lösung geben und die Vektoren sind unabhängig. Anders herum sind die Vektoren linear abhängig, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner der Anzahl an Vektoren ist, aber warum entspricht dann die Anzahl der in diesem System vorhandenen linear unabhängigen Vektoren dem Rang der Matrix? Danke vorab! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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HALLO Der Rang einer Matrix ist so definiert! Rang = Anzahl lin unabh. Spalten oder Zeilenvektoren. Also versteh ich deine Frage nicht. Was ist für dich denn der Rang einer Matrrix? Gruß ledum |
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Hi, sorry ich hab mich nicht klar ausgedrückt. Oft lese ich auch die Definition, dass der Rang der Matrix der Anzahl an Zeilen entspricht die in der Stufenform keine Nullzeilen sind. Also mit anderen Worten, der Rang entspricht der Anzahl der Treppenstufen bzw. den Pivotstellen der Treppennormalform. Mir fehlt der logische Zusammenhang dieser Definition und der über die Anzahl lin. unabh. Vektoren? Angenommen ich habe eine Matrix, in der die ersten beiden Spalten lin. unabh. Vektoren sind und die dritte Spalte eine Linearkombination der ersten beiden Spalten ist. Warum hat dann diese Matrix in Stufenform die unteren beiden Zeilen nur Nullzeilen? |
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Hallo wenn du nur 2 lin unabh Reihen hast ergeben die doch, dass die anderen 0 werden, weil du eine linkombination der ersten 2 von ihnen abziehst. vielleicht schreibst du mal ein Beispiel , aber wenn du Zeilenumformungen machst die eine Nullzeile ergeben , ist es doch dasselbe wie Linearkombinationen von Vektoren bilden, die zusammen 0 ergeben? es bleibt bei der Def. des Rangs, wie ich ihn geschrieben habe, das andere ist nur, wie man direkt sieht, wieviele Zeilenvektoren lin unabh. sind. Gruß ledum |
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Danke für deine schnellen Antworten! |
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anonymous 00:57 Uhr, 26.08.2018 |
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Einer der wichtigsten Lehrsätze, die du immer wieder brauchst: Zeilenrang = Spaltenrang. ( Beweis im Kowalsky oder Greub ) Nur zwei Beispiele; wenn du Unbekannte hast aber nur zwei Gleichungen, kann dieses LGS niemals eindeutig lösbar sein, weil sein Rang höchstens 2 ist. Umgekehrt. Hast du drei Gleichungen für zwei Unbekannte, ist Rang 2 und damit eindeutige Lösbarkeit ohne Weitertes denkbar. Dann könnte aber die erweiterte Koeffizientenmatrix ( KM ) Rang 3 haben, womit sich das LGS als unlösbar heraus stellt . Die Umformungen des Gaußverfahrens verändern den Rang der KM nicht . |
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