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Rang einer Matrix - reguläre Matrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
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Hi, ich wollte fragen, ob es reicht wenn ich zeige, dass der Rang einer Matrix kleiner ist als die Anzahl der Spalten/Zeilen dieser Matrix (vor allem dann wenn sie quadratisch ist), um zu sagen, dass sie nicht regulär ist und somit nicht invertierbar? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, für nicht quadratische Matrizen ist die Eigenschaft invertierbar nicht definiert. Reden wir also über quadratische Matrizen! Eine Matrix ist demnach invertierbar (oder regulär), wenn es eine inverse Matrix gibt. Die gibt es sicher, wenn die zugehörige Abbildung () bijektiv ist. In endlich-dimensionalen Vektorräumen sind die Eigenschaften (linearer Abbildungen) injektiv, surjektiv und bijektiv aber äquivalent. Es "reicht" also aus, wenn die genannte Abbildung surjektiv ist, was gleichbedeutend ist mit der Tatsache, dass die Bilder der Elemente einer Basis (etwa der Standardbasis) linear unabhängig sind. Damit sind wir beim (Spalten-)Rang der Matrix angekommen, der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten in der Matrix. Ist diese so groß wie die Spaltenanzahl, ist die Matrix regulär. Mfg Michael |
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Danke, eine Gegenfrage hätte ich noch: Mir fehlt in deinem letzten Absatz das "genau dann wenn"( ), darf ich mir dies dazu denken? MfG Komisch |
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Hallo, ich bin nicht sicher, wo du die Äquivalenz suchst. Allerdings weiß ich, dass ein kleinerer Spaltenrang als die Spaltenanzahl bedeutet, dass ein n-diemnsionaler Raum auf ein Bild mit geringerer Dimension abgebildet wird. Dann kann aber die Abbildung sicher nicht injektiv sein, woraus folgt, dass sie auch nicht bijektiv ist. Die zugehörige Matrix kann also nicht invertierbar sein. Meintest du das? Mfg Michael |
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Vielen Dank |
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