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Rang von Matrizen?

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Algebra, Rang von Matrizen

anonymous

14:05 Uhr, 09.01.2010

Hallo,

habe hier eine Aufgabe, wo ich keinen Ansatz finde:

Es seien $K$ ein Körper, A Element $K^{m x n}$ und $B$ Element $K^{n x r}$ . Zeigen Sie :
$a .)$ Es gilt RangA $+$ RangB $- n \leq$ Rang (AB) $\leq$ min(RangA, RangB)
$b .)$ Ist Rang(B)=n, so gilt Rang(AB) = Rang(A)

Dazu habe ich mir gedacht: AB ist Element $K^{m x n}$ . Des Weiteren weiß ich rgA= Spaltenrang A (Das gilt natürlich auch für $B$ und AB). Demnach ist ja RangA=n, RangB=r und RangAB $= r$ . Aber einen Beweis damit bekomme ich nicht hin. Kann das sein, dass ich bereits einen Fehler gemacht hab bei dem, was ich grad genannt hab?

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

16:31 Uhr, 09.01.2010

Hat denn keiner eine idee??

mistabishi

18:54 Uhr, 09.01.2010

1. du hast dich vertippt - $A B \in ℝ^{m \times r}$
2. ich dachte irgendwie in die richtung, dass man das ganze versucht als Abbildung zu schreiben und dann eben irgendwie auf den Dimensionssatz zurückführt, hab's aber noch nich versucht - vllt. hilft's dir iwie ... :-D)

mfg

mistabishi

13:23 Uhr, 10.01.2010

$A B$ entspricht doch $φ_{A} \circ φ_{B}$ , seh ich das richtig?
$B i l d (φ_{A} \circ φ_{B}) \subseteq B i l d (φ_{A})$ <- das dürfte stimmen und daraus würde folgen:
$R a n g (A B) \leq R a n g (A)$
Die Verkettung von Abbildungen kann den Rang nicht erhöhen, das ist klar, aber wie schreibt man das formal auf?
Ich würd das gerne als Dimensionssatz aufschreiben ...

$R a n g (A) = n - D i m K e r n (A)$ und $R a n g (B) = r - D i m K e r n (B)$ und $R a n g (A B) = r - D i m K e r n (A B)$
... wie mach ich weiter? o_0

mfg

anonymous

14:24 Uhr, 10.01.2010

kann denn keiner helfen??

anonymous

17:32 Uhr, 10.01.2010

hallo

das gilt auch noch sicher: Kern $(ψ_{B}) \subseteq$ Kern $(ψ_{A B})$
Damit und der Abschätzung oben kann man leicht den zweiten Teil der Ungleichung beweisen :-)

Zur ersten: benutze folgende Abbildung $ψ_{A}$ eingeschränkt auf Bild $(ψ_{B}) .$
Auch hier kannst du die dimensionsformel anwenden. Das Bild kannst du direkt bestimmen, für den kern eine geeignete Abschätzung finden.

bei $b)$ setze für rgB $n$ ein und mit der Abschätzung rgA $\geq$ rgAB folgt sofort die Beh..

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