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Raten
Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe
Tags: Wachstumsarten
 
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Hallo, ich komme ganz durcheinander mit den begriffen mittlere Aänderungsrate. mittlere Zuwachsrate und Durschnittliche Änderungsrate und wachstumsrate. Außerdem verstehe ich auch nicht den unterschied zwischen momentane zuwachsrate und momentane Änderungsrate nicht. Kann mir jemand die Zusammenhänge erklären, dass wäre echt sußer. Eventuell wir man die auch ausrechnet. Wäre sehr Dankbar Vieleicht eine Seite mit einer gute Zusammenfassung von allem. |
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Moin latiralis! Hier mal ein Erklärungsversuch: Mit dem umgangsprachlichen "durchschnittlich" ist das arithmetische Mittel gemeint. Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Funktion zwischen zwei Punkten und man berechnet sie mit dem Differenzenquotienten . Dies ist die durchschnittle Änderung der Funktion zwischen den Punkten und , wie der Graph dazwischen verläuft wird nicht beachtet. Mittlere und durchschnittliche Änderungsrate ist also gleichbedeutend. Wenn man von einer Zuwachsrate (Wachstumsrate ist das gleiche) spricht, impliziert das i.A., daß es ein Wachstumsprozess ist, daß der Funktionsgraph also steigt. Die Änderungsraten wären dann positiv und für ein exponentielles Wachstum vor allem größer eins. Bei der Funktion ist die die Wachstumsrate: Der Funktionswert verdreifacht sich bei Erhöhung des um eins. Trotzdem kommt es hin und wieder vor, daß ein Zerfall als Wachstum beschrieben wird, weil die Funktionsgleichung scheinbar die Form hat. Nehmen wir z.B die Zerfallsgleichung . Diese kannst Du erstmal als und somit auch als scheinbares Wachstum notieren: . Trotzdem fällt der Graph natürlich im ganzen Definitionsbereich streng monoton; alle mittleren und lokalen Änderungsraten sind negativ. Das heißt, es ist ein Zerfall und ist die Zerfallsrate. Zuwachs- und Zerfallsraten beziehen sich immer auf einen Zeitschritt (eine Einheit von oder oder was immer die auf der Abszissenachse abgetragene Variable ist). Die beiden betrachteten Punkte haben im Koordinatensystem also einen horizontalen Abstand von genau einer Einheit, wohingegen dieser Abstand bei mittleren Änderungsraten beliebig ist und ausschließlich von der Aufgabenstellung abhängt. Die momentane (oder auch lokale) Änderungsrate bezeichnet die Steigung einer Funktion in einem ganz bestimmten Punkt und nicht zwischen zwei verschiedenen Punkten. Ihr habt in der elften Klassenstufe beim Einstieg in die Differenzialrechnung hoffentlich den Differenzen- und den Differenzialquotienten kennengelernt. Ersterer ist eine mittlere Änderungsrate, der zweite eine lokale. Wenn man beim Differenzenquotient das gegen Null gehen lässt (-Methode): , erhält man den Differenzialquotienten, welcher gleich der lokalen (oder momentanen) Änderungsrate im Punkt ist. Beschreibt die unabhängige Variable einen Ort, spricht man meist von einer lokalen Änderungsrate. Beschreibt sie eine Zeit, eher von einer momentanen Änderungsrate. Sobald man mit der -Methode in der Schule durch ist, berechnet man die lokalen oder momentanen Änderungsraten mit der ersten Ableitung. Nun etwas klarer? Gruß - Kalle. |
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