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Rationale Gleichung mit 2 Variablen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Rationale Funktionen

 
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Bernd011

Bernd011 aktiv_icon

20:35 Uhr, 07.05.2022

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Hallo,

ich such die rationalen Lösungen (x,y) dieser Gleichung:

xy=x+yx+y-3

Ich habe neben der trivialen x=y=0 noch die Speziallösungen x=y=-12 und x=y=2 gefunden, aber keine weiteren.

Danke für einen Tipp.
Bernd

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
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pivot

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21:28 Uhr, 07.05.2022

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Hallo,

multipliziere die Gleichung mit (x+y-3). Dann ordne die Gleichung so, dass du eine quadratische Gleichung bezüglich der Variable x erhältst, in der Form a(y)x2+b(y)x+c(y)=0. Nun die Mitternachtsformel anwenden.
Edit: Ich habe aber auch keine weiteren gefunden. Um zu zeigen, dass es keine weiteren Lösungen gibt, muss man wahrscheinlich zahlenthoretisch an die Sache rangehen.

Gruß
pivot
Bernd011

Bernd011 aktiv_icon

21:59 Uhr, 07.05.2022

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Hallo Pivot,
ok danke. Die Mitternachtsfomel führt dann auf
x=12(3+1y-y±2(1+6y+11y2-6y3+y4)12)
Jetzt habe ich allerdings dass Problem rauszufinden, für welche y der Wurzelausdruck rational wird.
Gruß
Bernd
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pivot

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22:09 Uhr, 07.05.2022

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Prinzipiel ist der Ansatz bestimmt nicht falsch. Jetzt müsste man wahrscheinlich i-wie zahlentheoretisch argumentieren. Ich denke, dass das von dir verlangt wird (Uni). Deswegen würde ich an deiner Stelle noch mal die Vorlesungsunterlagen durchschauen und etwas passendes finden.
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Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

05:22 Uhr, 08.05.2022

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Ich kann die Lösungsmenge definieren.

Ob die Definition so toll ist,

steht auf einem anderen Blatt...

Ich rechne stumpf

xy=x+yx+y-3



x2y+xy2-3xy-x-y=0



x2y+x(y2-3y-1)-y=0



x2+x(y-3-1y)-1=0



x=-y-3-1y2±((y-3-1y2)2+1)12

=-(y-3-1y)±((y-3-1y)2+4)122

=-(y2-3y-1)±((y2-3y-1)2+4y2)122y

=-y2+3y+1±(y4-6y3+11y2+6y+1)122y.

Jetzt kann ich sagen, dass (0,0) eine Lösung ist

und dass für jedes yQ\{0}, für das

(y4-6y3+11y2+6y+1)12Q und

-y2+3y+1+(y4-6y3+11y2+6y+1)122y3-y bzw.

-y2+3y+1-(y4-6y3+11y2+6y+1)122y3-y

gilt, die Tupel

(-y2+3y+1+(y4-6y3+11y2+6y+1)122y,y) bzw.

(-y2+3y+1-(y4-6y3+11y2+6y+1)122y,y)

Lösungen und Elemente von Q2\(0,0) sind.

(Neben der bereits erwähnten Lösung (2,2)

findet man damit z.B. noch (-12,2)

und somit natürlich auch (2,-12).

Für y=-2 gibt es hingegen keine x, da 9712Q. )



Vielleicht kann Jemand etwas mit

xy=x+yx+y-3



(x,y)(y-1x-32-32x-1y)(xy)=0



(xy-32y-1,xy-32x-1)(xy)=0

(mit (x,y)(0,0) und x+y3) anfangen...


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Bernd011

Bernd011 aktiv_icon

11:03 Uhr, 08.05.2022

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Ich denke man kann das Problem auf eine einfache zahlentheoretische Frage reduzieren.

Die oben genannte Formel

x=12(3+1y-y±2(1+6y+11y2-6y3+y4)12)

gilt (aus Symmetriegründen) auch wenn man x und y vertauscht. Außerdem kann man y aus der Wurzel rausziehen und die Wurzel vereinfachen, sie wird dann:

(4+(3+1y-y)2)12

Alle rationalen y, die dieses Ausdruck rational machen, führen zu einem rationalen x. Außerdem führen alle rationalen x, die den Ausdruck

(4+(3+1x-x)2)12

rational machen, zu einem rationalen y.

Wenn man jetzt substituiert

z=3+1y-y

bekommt man:

(4+z2)12

Die Gleichung für z nach y aufgelöst ergibt:

y=12(3-z±(4+(z-3)2)12)

Auch hier kann man sich auf den Wurzelausdruck beschränken, so dass das ursprüngliche Problem reduziert ist auf die Frage, welche z diese beiden Ausdrücke rational machen:

(4+z2)12 und (4+(z-3)2)12

z.B. für z=32 ergibt sich y=-12 und y=2



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Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

11:30 Uhr, 08.05.2022

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Bernd01, die von Dir in Deinen letzten
zwei Beiträgen angegebene Formel für x ist falsch.

Für y=2 wäre nach ihr z.B. x=234 bzw. x=-174.

(234,2) und (-174,2) sind aber keine Lösungen.

Bernd011

Bernd011 aktiv_icon

12:03 Uhr, 08.05.2022

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Stimmt, sorry. Es muss statt
x=12(3+1y-y±2(1+6y+11y2-6y3+y4)12)
lauten
x=12(3+1y-y±1y(1+6y+11y2-6y3+y4)12)
Der Wurzelausdruck bzw. meine Argumentation ist aber nicht betroffen.
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Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

13:39 Uhr, 08.05.2022

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Und es gilt

x=-y+3+1y±((-y+3+1y)2+4)122

und somit

x=z±(z2+4)122 mit z=-y+3+1y,

oder dann auch

y=z±(z2+4)122 mit z=-x+3+1x,

was ich Deiner Formel

y=3-z±((z-3)2+4)122

vorziehen würde.



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